Question

ufrgs. A equação 2mx^2 +MX+1/2 = 0 possui 2 raízes reais distintas: Eu fiz tudo certo, pra ser raiz real e distinta o delta precisa ser positivo, coloquei em evidencia e ficou:

m.(m-4) > 0
logo m>4
m<0, esse m <0 que não entendi, porque inverter o sinal de maior para menor ????

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Emanoel, que a resposta está correta. Deverá ser m < 0, ou m > 4.
Note que temos a seguinte equação:

2mx² + mx + 1/2 = 0 -----  para facilitar, vamos utilizar o mmc = 2 e, com ele, multiplicaremos ambos os membros, com o que ficaremos assim:

4mx² + 2m + 1 = 0

Agora veja: para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes reais e distintas, então o delta (b² - 4ac) deverá ser maior do que zero, então deveremos ter isto:

(2m)² - 4*4m*1 > 0
4m² - 16m > 0 ---- novamente, para facilitar, vamos dividir ambos os membros por  "4", com o que ficaremos da seguinte forma:

m² - 4m > 0  ---- vamos colocar "m" em evidência, com o que ficaremos:

m*(m - 4) > 0

Agora note: temos aqui o produto entre duas funções, cujo resultado deverá ser maior do que zero. Temos f(x) = m e temos g(x) = m-4.
Vamos fazer o seguinte: encontramos as raízes de cada uma delas. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, diremos qual é o conjunto-solução.
Assim, teremos;

f(x) = m ----> raízes: m = 0
g(x) = m - 4 ---> raízes: m = 4.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas. Assim, faremos isto:

a) f(x) = m ......- - - - - - - - - - - - - (0) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = m-4 ..- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (4)+ + + + + + + + + + + + + +
c) a * b .........+ + + + + + + + + + (0) - - - - - - - - - -- (4) + + + + + + + + + + + + +

Agora note: como queremos que o produto entre f(x) e g(x) seja positivo (ou maior do que zero), então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto entre as duas funções (note que na multiplicação de "a*b", vista no item "c" acima,  fazemos aquele jogo de sinais: sinais iguais dá mais e sinais diferentes dá menos).

Assim, só valerá os seguintes intervalos:

m < 0 , ou m > 4 ------- Pronto. Esta é a resposta. Opção "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

2mx² + mx + 1/2 = 0
Par que se tenha duas raízes reais e distintas, devemos ter:
Δ > 0
m² - 4.2m.1/2 > 0 => m² - 4m > 0
Raízes m² - 4m = 0 => m(m - 4) = 0
m = 0 ou m - 4 = 0 => m = 4

------------------0...............4---------------    
         +                    -             +

Devemos ter:   m < 0 ou m > 4