Question

Havia lá um grande tanque de rega com 5 torneiras iguais que serviam para o encher de
água. Depois de algumas observações e experiências, o Sr. Elias verificou que:
 Com as 5 torneiras totalmente abertas e a saída de rega também aberta, o tanque demora 2 horas a
encher;
 Com 3 torneiras totalmente abertas e a saída também a funcionar, eram precisas 3 horas e 45
minutos para o tanque ficar cheio.
Será que só com uma torneira a funcionar e a saída também a funcionar o tanque chega a encher? Se sim, em
quanto tempo?

Answer 1

As 5 torneiras são iguais.

•   Vazão de cada torneira:   p;

•   Vazão de saída da rega:   q.


Assuma que o volume do tanque seja V. Poderíamos atribuir qualquer valor para V apenas para simplificar os cálculos. O valor de V é irrelevante para este problema, como você poderá notar ao desenvolver desta resposta.


Em qualquer caso, sempre temos que

•   vazão líquida  =  vazão de entrada  –  vazão de saída;

•   vazão líquida  ×  tempo que leva para encher o tanque  =  volume do tanque.


O tempo será medido em horas.

________


•   1ª situação:   Com as 5 torneiras abertas e a saída da rega também aberta, o tanque demora 2 horas para encher:

(5p – q) · 2 = V

10p – 2q = V              (i)


•   2ª situação:   Com 3 torneiras abertas e a saída da rega também aberta, o tanque demora 3 horas e 45 minutos para encher:

Obs.:   3h 45 min

= 3h + 45 min

= (3 + 45/60) h

= 3 + 0,75 h

= 3,75 h


Agora, devemos ter

(3p – q) · 3,75 = V

11,25p – 3,75q = V              (ii)


Basta resolver o sistema formado pelas equações (i) e (ii).

10,00p – 2,00q = V            (i)

  11,25p – 3,75q = V            (ii)



Multiplique os dois lados da equação (i) por 3,75, e os dois lados da equação (ii) por (– 2):

   37,50p – 7,50q =     3,75V              (iii)

– 22,50p + 7,50q = – 2,00V              (iv)


Somando as equações (iii) e (iv) membro a membro, obtemos

37,50p – 22,50p = 3,75V – 2,00V

15,00p = 1,75V       ——>    ×   4

60,00p = 7,00V

          7,00V
p  =  ————
          60,00

           7
p  =  —— V
         60



Encontrando a vazão de saída:

10,00p – 2,00q = V       ——>    ×   6

60,00p – 12,00q = 6V

           7
60 ·  —— · V – 12,00q = 6V
         60


7V – 12,00q = 6V

7V – 6V = 12,00q

V = 12,00q

            V
q = ————
        12,00


        5
q = —— V
       60

________


Deseja-se saber se existe possibilidade de o tanque ser cheio com apenas uma torneira aberta e com a saída também aberta, isto é, deseja-se encontrar um intervalo de tempo t (caso exista) de modo que

(p – q) · t = V       ——>    ×   60

60 · (p – q) · t = 60V

(60p – 60q) · t = 60V

(7V – 5V) · t = 60V

2V · t = 60V

      60V
t = ———
       2V


(note que este intervalo de tempo não depende do volume do tanque)

t = 30 h      <———    esta é a resposta.


Somente com uma torneira e com a saída a funcionar, o tanque demoraria 30 horas para encher.


Veja que foi possível achar um t positivo, pois a vazão líquida nesta situação é

p – q > 0

(a vazão de entrada é maior do que a vazão de saída).


Bons estudos! :-)