Question

Um garoto vai comprar um vídeo game que custa 420 reais vai guardar 2 reais nessa semana, 4 na segunda semana, seis na terceira semana o número de semanas necessárias para poder comprar o vídeo game é?

Answer 1

A quantidade de dinheiro que ele guarda semana após semana forma uma progressão aritmética (PA) de razão igual a 2.

PA = a1, a2, a3, ..., an

Nesse caso, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6.

Para calcular um elemento qualquer n da progressão, usamos a fórmula:

》an = a1 + (n - 1) . r

Onde:
an: elemento procurado;
a1: primeiro elemento da PA;
n: ordem do elemento procurado;
r: razão da PA

Substituindo os valores conhecidos, temos:

an = a1 + (n - 1) . r
an = 2 + (n - 1) . 2
an = 2 + 2n - 2
an = 2n

A soma dos elementos de uma PA é dada pela fórmula:

》S = [(a1 + an) . n]/2

Onde:
S: soma dos elementos da PA;
a1: primeiro elemento da PA;
an: último elemento da PA;
n: quantidade de elementos da PA

Sabemos que a1 = 2 e an = 2n, substituindo na fórmula acima, temos:

S = [(a1 + an) . n]/2
S = [(2 + 2n) . n]/2

Como o garoto quer acumular R$ 420,00, portanto S = 420.

S = [(2 + 2n) . n]/2
420 = [(2 + 2n) . n]/2
420 = (2n + 2n^2)/2
420 = n + n^2
n^2 + n - 420 = 0

Usando a fórmula de Bháskara, temos que n' = 20 e n'' = - 21. Como n é a quantidade de elementos da PA, n = - 21 não convém, pois não existe quantidade negativa.
Lembre - se que a quantidade de elementos da PA, nesse caso, equivale ao número de semanas necessárias para ele comprar o vídeo game.
Assim, ele precisa de 20 semanas.

Espero ter ajudado, bons estudos!