Question

$Se \ z \ e \ w \ s\tilde{a}o \ dois \ n\acute{u}meros \ complexos \ quaisquer \ tais \ que \\ | \ z \ | \ = \ | \ w \ | \ = \ 1 \ e \ 1+zw \ne 0 \ , \ mostre \ que \ a \\ express\tilde{a}o \ \frac{z+w}{1+zw} \ determina \ sempre \ um \ n\acute{u}mero \ real$

Answer 1

Bom dia Ludeen

 | z | = 1  é o modulo de z 
 | w | = 1 é o modulo de w 

z = a + bi
|z| = √(a² + b²) = 1

w = c + di
|w| = √(c² + d²) = 1

como os módulos valem 1 podemos escrever 

z = cos(x) + isen(x)
w = cos(y) + isen(y) 

identidade trigonométrica
(z + w)/(1 + zw) = cos(x/2 - y/2)*sec(x/2 + y/2)

cos(x/2 - y/2) e sec(x/2 + y/2) são dos numeros reais

logo (z + w)/(1 + zw)  é um numero real.