Question

Qual a representação na forma fracionária irredutível das dízimas: a) 0,233333...? e b) 5,166666...?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gabriel, que a resolução é simples.
São pedidas as formas fracionárias irredutíveis das seguintes dízimas periódicas:

a) 0,2333333......
e
b) 5,166666......

Agora veja: há uma forma bem prática para encontrarem-se as frações geratrizes de quaisquer dízimas periódicas. Essa forma consiste em que façamos desaparecer  o período (o período é a parte que se repete indefinidamente: daí o nome de dízima periódica).
Então vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. Inicialmente igualaremos cada dízima periódica a um certo "x". Assim:

a) x = 0,2333....

Vamos multiplicar "x' por "10" e depois por "100", com o que ficaremos assim:

10*x = 10*0,2333333....
10x = 2,333333....

Agora multiplicaremos "x" por "100",com o que ficaremos assim:

100*x = 100*0,233333.....
100x = 23,33333......

Agora subtrairemos, membro a membro, "10x" de "100x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período. Veja:

100x = 23,333333....
-10x = - 2,333333.....
--------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
90x = 21,000000....  --- ou apenas:
90x = 21 ------- isolando "x" teremos:
x = 21/90 ---- dividindo-se numerador e denominador por "3", ficaremos apenas com:

x = 7/30 <--- Pronto. Esta é a resposta para a questão "a". Esta é a forma irredutível da fração geratriz da dízima periódica 0,23333......
 

b) x = 5,16666666.....

Vamos fazer a mesma coisa: multiplicaremos por "10" e depois por "100", com o que ficaremos assim:

10*x = 10*5,166666...
10x = 51,666666....

Agora multiplicaremos por "100", ficando:

100*x = 100*5,166666....
100x = 516,6666.....

Agora subtrairemos "10x" de "100x", membro a membro, ficando assim:

100x = 516,66666....
- 10x = - 51,66666....
---------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
90x = 465,000000.... --- ou apenas:
90x = 465
x = 465/90 ---- dividindo-se numerador e denominador por "15", teremos:
x = 31/6 <--- Pronto. Esta é a resposta para a questão "b". Esta é a forma irredutível da fração geratriz da dízima periódica 5,166666.....

Observação: nos dois casos, coincidentemente, as multiplicações necessárias e suficientes foram por "10" e por "100". Mas não necessariamente as multiplicações seriam exatamente por essas potências de 10. Também há casos em que é necessária apenas uma multiplicação por uma potência de 10. As multiplicações eleitas serão por conveniência, ou seja, procuraremos quais  seriam as mais convenientes para que desapareça o período das dízimas periódicas.
Por exemplo: digamos que você quisesse saber qual é a fração geratriz da dízima periódica 0,555555....... Veja que aqui bastaria multiplicar por "10", pois teríamos isto:

x = 0,555555......

Multiplicando "x" por "10", teremos: 10*x = 10*0,55555..... --> 10x = 5,5555.....

Agora é só subtrair "x" de "10x", ficando:

10x = 5,55555...
-x = - 0,55555.....
------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
9x = 5,000000....... ------- ou apenas:
9x = 5
x = 5/9 <--- Esta é a forma irredutível da fração geratriz da dízima periódica 0,5555....


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.