Question

Determine o domínio das funções definidas por:
f(x)=(3x+1)/√(x-3) b) f(x)=∜(5x+2)/√(-2x+4)

Answer 1

a)
$\displaystyle f(x)=\frac{3x+1}{\sqrt{x-3}}$
Já podemos descartar os números que façam $\sqrt{x-3}\ \textless \ 0$ (raiz de x - 3 ficar menor que zero). Isso só é possível para números menores que 3. Porém o número 3 faz com que o denominador vá a zero. E como sabemos:
$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{3x+1}{\sqrt{x-3}}=\infty$ o limite dessa função com o x tendendo a 3 diverge, pois o denominador vai tendendo a zero quando x tende a 3:
$\lim_{x\to3}\sqrt{x-3}=\sqrt{3-3}=0$
ou seja, a função só existe para todos reais maiores que 3:
$D_f=(3,\infty)$
(Domínio de f é todo intervalo dos reais com x maior que três)
ou
$D_f=f~\exists~\forall x\in\mathbb{R}~|~x\ \textgreater \ 3$
(função existe para todo x pertecente aos reais tal que x é maior que 3)

b)
$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt[4]{5x+2}}{\sqrt{-2x+4}}$
O denominador não pode ser = 0.
Quais valores faria com que $\sqrt{-2x+4}=0??$
Sabemos que é 2, pois -2 vezes 2 é -4, -4+4 = 0.
Já sabemos que essa função não existe para o x = 2.


O numerador não está definido para valores menores que zero. Logo, precisamos calcular quais valores fazem 5x+2 = 0 e limitar seu domínio para esse valor:
$\displaystyle 5x+2=0\\5x=-2\\x=-\frac{2}{5}=-0,4$
Olhe que:
$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\sqrt[4]{5x+2}}{\sqrt{4-2x}}=\frac{\sqrt[4]{12}}{\sqrt{0}}=\infty$
ela diverge para x maior ou igual 2.

Então, sabemos que o domínio dessa função é:
$\displaystyle D_g=\left(-\frac{2}{5},~2\right)$
ou
$\displaystyle D_g=g~\exists~\forall x\in\mathbb{R}\left|-\frac{2}{5}\ \textless \ x\ \textless \ 2\right.$
(função g existe para todo x pertencente aos reais tal que x é maior que -2/5 e menor que 2)

observe os gráficos abaixo:
Esse tracejado é uma assíntota, a função cresce absurdamente ali e se aproxima dessa reta, mas nunca a toca. Dizemos então que a função não está definida quando diverge.