Question

$Seja \ z \ um \ n\acute{u}mero \ inteiro \ , \ expresso \ por \ : \\ \\ z \ = \ (3)^x-(3)^y \\ \\ Sendo \ x \ e \ y \ n\acute{u}meros \ inteiros \ e \ postivos \ . \\ \\ Quais \ rela\c{c}\tilde{o}es \ entre \ x \ e \ y \ devem \ ser \ satisfeitas \ para \ que \\ z \ seja \ sempre \ n\acute{u}mero \ divis\acute{i}vel \ por \ 5 .$

Answer 1

Manipulando a expressão dada:

$z=3^x-3^y\\\\ z=3^y(3^{x-y}-1)$

Considere x ≥ y e que d é a diferença x-y. Veja acima que z é igual ao produto de dois números: $3^y$ e $3^{x-y}-1=3^d-1$. Como 5 divide z e não divide $3^y$, podemos dizer que 5 divide $3^d-1$. Isto é:

$3^d-1\equiv 0\pmod5\\\\ 3^d\equiv1\pmod5$

Sabemos pelo enunciado que x e y são inteiros positivos e consideramos x≥y, logo d é um inteiro não negativo. Vamos analisar os restos deixados pelas potências naturais de 3 no módulo 5:

$3^0=1\equiv1\pmod5\\\\ 3^1=3\equiv3\pmod5\\\\ 3^2=9\equiv4\pmod5\\\\ 3^3=27\equiv2\pmod5\\\\ 3^4=81\equiv1\pmod5\\\vdots$

Note que os restos começam a se repetir. A cada 4 potências, o resto volta a ser o mesmo. Para o caso que queremos, que é $3^d\equiv1\pmod5$, o expoente deve ser um múltiplo de 4 (veja acima que $3^0\equiv3^4\equiv...\equiv0\pmod5$. Assim, podemos dizer que d=x-y é um múltiplo de 4, isto é, $x-y=4k,~k(\geq0)\in\mathbb{Z}$ é a relação que queremos, para x ≥ y. Caso ache necessário, posso editar para tentar mostrar mais formalmente essa repetição dos restos das potências de 3 na divisão por 5 sem usar apenas da observação.

Agora, vejamos o caso y > x. Manipulando a expressão de forma parecida:

$z=3^x-3^y\\\\ z=3^x(1-3^{y-x})$

Seja d=y-x. Com a mesma observação sobre 5 dividir z, temos que 5 divide $1-3^{y-x}=1-3^d$. Isto é:

$1-3^d\equiv0\pmod5\\\\ 3^d\equiv1\pmod5$

Que é a mesma condição pra d que encontramos antes. Assim, analogamente, encontraremos que $y-x=4k,~k(>0)\in\mathbb{Z}$. Juntando as respostas dos dois casos, obtemos a condição final:

$\boxed{x-y=4k},~k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Olá Ludeen.



Organizando as informações:

$\mathsf{z=3^x-3^y}~~~~~~~~~\mathsf{z\in\mathbb{Z}~~~~x~e~y\in\mathbb{N}}$

Veja que o z é dado pela diferença de 2 números impares, portanto z é um número par. Isso porque o produto de x números impares sempre dará impar e a diferença entre 2 números impares sempre será par.

Demonstração:

O conjunto dos números impares é dado por $\mathsf{2n+1}$ onde n pertence aos naturais:


$\mathsf{2\cdot0+1=1}\\\mathsf{2\cdot1+1=3}\\\mathsf{2\cdot2+1=5}\\\mathsf{2\cdot3+1=7}\\\mathsf{...}$


Já o conjunto dos números pares é também o conjunto dos múltiplos de 2:
$\mathsf{2n}$  onde n pertence aos naturais não nulos.


$\mathsf{2\cdot1=2}\\\mathsf{2\cdot2=4}\\\mathsf{2\cdot3=6}\\\mathsf{2\cdot4=8}\\\mathsf{...}$

No número z, o número impar (3) será multiplicado x vezes por ele mesmo e depois o outro número impar também (3), será multiplicado y vezes por ele mesmo e depois será feito a diferença entre eles:

$\mathsf{z=\underbrace{\mathsf{3\cdot3\cdot3\cdot3...}}-~\underbrace{\mathsf{3\cdot3\cdot3\cdot3...}}}\\\mathsf{\qquad ~~~x~vezes\qquad~~~ y~vezes}$

Agora veja o que acontece se multiplicarmos 2 números impares:

$\mathsf{(2n+1)\cdot(2n'+1)~\Rightarrow~4n\cdot n'+2n+2n'+1~}\\\\\mathsf{~2\cdot\underbrace{\mathsf{(n\cdot n'+2n+n')}}+1~\Rightarrow~\boxed{\mathsf{2n''+1}}\gets N\'umer o~impar}\\\mathsf{\qquad\qquad~~ n''}$

Agora veja o que acontece se tirarmos a diferença entre 2 impares:

$\mathsf{2n+1-(2n'+1)~\Rightarrow~2n+1-2n'-1~\Rightarrow~2n-2n'}\\\\\mathsf{2\cdot\underbrace{\mathsf{(n-n')}}~\Rightarrow~\boxed{\mathsf{2n''}}\gets~N\'umero~par}\\\mathsf{\qquad~ n''}$

Portanto z é par.

Más queremos que z seja um número divisível por 5, então ele deverá também ser um múltiplo de 2, pois como já sabemos, um número par também é múltiplo de 2.

Portanto z deverá ser alem de múltiplo de 5 será um múltiplo de 10 $\mathsf{(2\cdot5=10)}$, ou seja, terminado em 0.


Agora vamos checar algumas potências de 3:


$\mathsf{3^0=1}\\\mathsf{3^1=3}\\\mathsf{3^2=9}\\\mathsf{3^3=27}\\\mathsf{3^4=81}\\\mathsf{3^5=243}\\\mathsf{3^6=729}\\\mathsf{3^7=2.187}$

Veja o que ocorre com a cada das unidades das potências de 3, ela seguem uma regularidade.

$\mathsf{U_3=\{1,3,9,7\}}~~\gets~4~elementos$

Acima temos então o conjunto das unidade da potência de 3 onde eles seguem exatamente aquela ordem. E por ter uma regularidade é possível saber a partir do expoente, qual unidade terá aquela potência de 3, veja:


Pegando o expoente 0, $\mathsf{3^0=1}$.  Se nós dividirmos um múltiplo de 4 por 4, evidentemente o resto será 0, e a partir do resto é possível encontrar o valor dos expoentes, veja:

$\star~\mathsf{Unidades.}\\\\\mathsf{3^0=1}\\\mathsf{3^4=1}\\\\\mathsf{0\equiv4~mod(4)}\\\\\mathsf{Adicionando~uma~unidade~em~cada~expoente~o~resto~tamb\'em~\'e~somado.}\\\\\mathsf{3^1=3}\\\mathsf{3^5=3}\\\\\mathsf{1\equiv5~mod(4)}\\\\\mathsf{\underline{\qquad\qquad}}\\\\\mathsf{3^2=9}\\\mathsf{3^6=9}\\\\\mathsf{2\equiv6~mod(4)}\\\\\mathsf{\underline{\qquad\qquad}}\\\\\mathsf{3^3=7}\\\mathsf{3^7=7}\\\\\mathsf{3\equiv7~mod(4)}$

Portanto os expoentes são equivalentes por deixar o mesmo resto.

Como queremos números múltiplos de 10, ou seja, terminados em 0, a diferença dos dois números devem resultar em uma unidade nula, ou seja, as unidades dos dois números devem ser igual.

$\mathsf{a\cdot 10^2+b\cdot10^1+c-(k\cdot10^2+z\cdot 10^1+c)}\\\\\mathsf{10^2(a-k)+10^1(b-z)+\boxed{\mathsf{c-c}}~\gets~0}$

Portanto, x e y deverá ser equivalentes como expoentes.

____________

Pelo algoritmo da divisão sabemos que o dividendo é igual ao produto do quociente mais o resto:

a  |_d_
r     q

$\mathsf{a=qd+r}$

Como vimos acima eles devem ser equivalentes, ou seja, terão a mesma unidade, portanto a partir dos restos podemos encontrar seus possíveis valores usando o algoritmo da divisão:

$\mathsf{0\equiv4~mod(4)}\\\\\mathsf{x=4q+0~~\qquad\qquad~e~\qquad\qquad~~y=4q'+0}\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{1\equiv5~mod(4)}\\\\\mathsf{x=4q+1\qquad\qquad~~e~~\qquad\qquad y=4q'+1}\\\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{2\equiv 6~mod(4)}\\\\\mathsf{x=4q+2\qquad\qquad~e~\qquad\qquad~y=4q'+2}\\\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{3\equiv 7~mod(4)}\\\\\mathsf{x=4q+3\qquad\qquad~e~\qquad\qquad~y=4q'+3}$

Onde q e q' é um número natural e o resto evidentemente será um valor positivo menor que 4 (já que um resto jamais pode ser maior ou igual que o divisor). 

$\mathsf{r=\{0,1,2,3\}}$


$\boxed{\boxed{\mathsf{z=3^{4q+r}-3^{4q'+r}}}}$


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