Question

determine a equação geral do plano perpendicular a reta :

r : {x = 2y -3}
{z = -y+1}
e que contem o ponto A (1,2,3).

Answer 1

A(1,2,3)

r: {x = 2y - 3
   {z = -y+1

x = 2y - 3         z = -y + 1        y/1
x + 3 = 2y        z - 1 = -y
y = (x + 3)/2     y = (z - 1)/-1

(x + 3)/2 = y/1 = (z - 1)/-1

v = (2,1,-1) ---> o vetor diretor de r é a normal

π: 2(x - 1) +1(y - 2) -1(z - 3) = 0
π: 2x -2 +y -2 -z +3 = 0

Resposta:
π: 2x + y -z -1 = 0   ---> equação geral do plano

Answer 2

A equação geral do plano perpendicular à reta é 2x + y - z = 1.

Como a reta está definida por $\left \{ {{x=2y-3} \atop {z=-y+1}} \right.$, então vamos considerar que y = t. Assim, temos que as equações paramétricas da reta são:

{x = -3 +2t

{y = t

{z = 1 - t.

Então, o vetor direção da reta é u = (2,1,-1) e passa pelo ponto B = (-3,0,1).

Como o plano é perpendicular à reta r, então o vetor direção da reta se tornando o vetor normal do plano.

A equação do plano é definida por ax + by + cz = d, sendo (a,b,c) o vetor normal.

Logo, a equação do plano é da forma 2x + y - z = d.

Temos a informação de que o plano passa pelo ponto A = (1,2,3). Substituindo o ponto A na equação definida acima, obtemos:

2.1 + 2 - 3 = d

2 + 2 - 3 = d

d = 1.

Portanto, a equação do plano é 2x + y - z = 1.

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