Question

Calcule a integral indefinida:

∫ e^(x + e^x) dx

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Instruções: Responda de forma completa, com o passo a passo bem explicado. A resposta mais bem detalhada e organizada será marcada como a melhor, além de receber obrigado e estrelinhas.

Só responda se souber. Quem responder errado de propósito, com brincadeiras apenas para ganhar os pontos, terá a resposta eliminada e os pontos retirados. Obrigado. =)

Tags:  integral indefinida exponencial função composta cálculo diferencial integral

Answer 1

$\displaystyle\int e^{x+e^{x}}dx=\int e^{x}\cdot e^{e^{x}}\,dx=\int e^{e^{x}}e^{x}dx$

Fazendo $u=e^{x}~~\Rightarrow~~du=e^{x}dx$ e substituindo, temos:

$\displaystyle\int e^{x+e^{x}}dx=\int e^{e^{x}}e^{x}dx=\int e^{u}du=e^{u}+C$

(pois $\frac{d}{du}(e^{u}+C)=e^{u}$)

Voltando para $x$, usando $u=e^{x}$:

$\boxed{\boxed{\int e^{x+e^{x}}dx=e^{e^{x}}+C}}$
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A prova real é simples: Dada $f$ diferenciável, temos, pela regra da cadeia, que $\frac{d}{dx}e^{f(x)}=e^{f(x)}f'(x)$

Então, para $f(x)=e^{x}$:

$\dfrac{d}{dx}(e^{e^{x}}+C)=\dfrac{d}{dx}e^{e^{x}}=e^{e^{x}}\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{e^{x}}e^{x}=e^{e^{x}+x}=e^{x+e^{x}}$

Answer 2

f e^x +e^e de

sendo e^e w:. dw=e^e de


f e^e .(e^e)^e de f. e^w,dw=e^w=e^xe +C


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boa noite!! :)