Question

Uma Progressão Aritmética tem a seguinte sequencia (p, p + 10, p², ....)

..considerando "p" > 0

Qual será o 20º termo desta Progressão??



..por favor dê a sua resposta detalhada

Answer 1

Observando o primeiro e o segundo termos podemos concluir que a razão é 10. Sendo assim, o terceiro termo é obtido somando-se 10 unidades ao segundo, ou seja

p + 10 + 10 = p^2

Isso nos gera a equação do segundo grau

p^2 - p - 20 = 0

As raízes são: 5 e - 4.

Como p foi definido positivo, a raiz - 4 está descartada.

Logo 5 é o nosso primeiro termo da PA. Substituindo, vemos que faz sentido 5, 15, 25...

O vigésimo termo pode ser encontrado com o termo geral "an = a1 + (n - 1) r"

Substituindo os valores, temos:

a20 = 5 + (20 - 1). 10

Logo, a 20 = 195.

Espero ter ajudado!

Answer 2

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A sequência

(p,  p + 10,  p², ...)

é uma progressão aritmética. Logo, a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante (igual à razão r da P.A.):

a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = r

(p + 10) – p = p² – (p + 10)

p + 10 – p = p² – p – 10

10 = p² – p – 10

0 = p² – p – 10 – 10

p² – p – 20 = 0


Vamos resolver usando fatoração por agrupamento. Reescreva convenientemente – p como – 5p + 4p, e a equação fica

p² – 5p + 4p – 20 = 0

p² – 5p + 4p – 4 · 5 = 0

p · (p – 5) + 4 · (p – 5) = 0

(p – 5) · (p + 4) = 0

p – 5 = 0    ou    p + 4 = 0

p = 5    ou    p = – 4   (não serve, pois p > 0).


Então encontramos

p = 5          ✔

__________


•  O primeiro termo da P.A. é

a₁ = p

a₁ = 5          ✔


•  A razão da P.A. é

r = a₂ – a₁

r = (p + 10) – p

r = 10          ✔


•  Fórmula do termo geral:

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\\ \mathsf{a_n=5+(n-1)\cdot 10}\\\\ \mathsf{a_n=5+10n-10}\\\\ \mathsf{a_n=10n-5\qquad\qquad com~~n=1,\,2,\,3,\,\ldots}$


Sendo assim, o 20º termo desta P.A. é

a₂₀ = 10 · 20 – 5

a₂₀ = 200 – 5

a₂₀ = 195   <———   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)


Tags:  sequência numérica sucessão progressão aritmética pa