Question

Sejam z e v números complexos onde |z| = 1 e v tem coordenadas no plano de
Argand-Gauss ( {raiz de 2}/2, {raiz de 2}/2). Sobre o número complexo z · v (resultante da multiplicação
dos complexos z e v), podemos afirmar que

a) sempre é um número real.
b) sempre tem módulo igual a 2.
c) sempre é um número imaginário puro.
d) pertence à circunferência x^2 + y^2 = 1
e) sempre tem argumento igual a π/4

Answer 1

Vamos usar a notação trigonométrica:

z = |z| . cis(arg z)

z = cis(arg z)

E V:

|v| = 1

v = |v|.cis(arg v)

arg v = arctg 1, V pertence ao 1° quadrante
arg v = π/4

V = cis(π/4)

z.v = |z|.|v|.cis(arg z + arg v)

z.v = cis(arg z + π/4)

Agora eliminamos as alternativas:

a) Errado, se arg z = 0, notamos que resulta em complexo não real, por exemplo.

b) Errado, o módulo é |z|.|v| = 1

c) Errado, para arg z = 0, existe parte real.

d) Correto, explico depois.

e) Errado, o argumento varia em função de arg z


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Vamos à D?

Os números complexos casam muito bem com a geometria e são ótimos para representar vetores. Na geometria, eles podem expressar Lugares Geométricos. Por exemplo: |z - k| = R mostra uma circunferência de centro K e raio R

Agora observe o resultado:

|z.v| = 1

Num produto de complexos, note que quando multiplicamos z, que é uma circunferência de raio 1 por v, alteramos a imagem do seguinte modo:

O módulo do complexo resultante é |z| multiplicado pelo módulo de v, o que continua 1. A imagem é rotacionada de π/4 (arg v), mas como é uma circunferência, o L.G. não é alterado. Como não somamos nenhum valor, o centro continua na origem de z, ou seja, (0,0)

Temos uma circunferência de raio 1 e centro na origem. Da geometria analítica:

(x - xc)² + (y - yc)² = R²

x² + y² = 1