Question

Dada a relação de IR em IR definida por $x^{2} + y^{2} -4x+8y+16=0$ , determine o domínio e a imagem de $R^{-1}$

Atenção!

Retome os conceitos de relação e de circunferência para responder a questão. Faça o gráfico da equação da circunferência para visualizar o que está sendo solicitado.

Answer 1

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Temos uma relação definida implicitamente:

$\large\begin{array}{l}\mathtt{R=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~x^2+y^2-4x+8y+16=0\}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\texttt{Deseja-se determinar o dom\'inio e a imagem de }\mathtt{R^{-1}.}\\\\ \texttt{A rela\c{c}\~ao inversa \'e obtida escrevendo-se x em fun\c{c}\~ao}\\\texttt{de y. Vamos usar completamento de quadrados:}\\\\ \mathtt{x^2+y^2-4x+8y+16=0}\\\\ \mathtt{x^2-4x+y^2+8y=-16} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \texttt{Reescreva os termos em }\mathtt{1^o}\texttt{ grau em x e y, como o dobro}\\\texttt{de um fator:}\\\\ \mathtt{x^2+2\cdot 2x+y^2+2\cdot 4y=-16}\\\\ \mathtt{x^2+2\cdot x\cdot 2+y^2+2\cdot y\cdot 4=-16}\\\\ \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \texttt{Adicione aos dois lados }\mathtt{2^2+4^2}\texttt{ para completar os}\\\texttt{quadrados:}\\\\ \mathtt{x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2+y^2+2\cdot y\cdot 4+4^2=-16+2^2+4^2}\\\\ \mathtt{(x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2)+(y^2+2\cdot y\cdot 4+4^2)=-16+4+16} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \texttt{Os termos em par\^enteses s\~ao trin\^omios quadrados}\\\texttt{perfeitos. Ent\~ao, a equa\c{c}\~ao fica}\\\\ \mathtt{(x-2)^2+(y+4)^2=4}\\\\ \mathtt{(x-2)^2+(y-(-4))^2=2^2\qquad\quad(i)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \texttt{Comparando a equa\c{c}\~ao acima com a equa\c{c}\~ao reduzida}\\\texttt{da circunfer\^encia com centro no ponto }\mathtt{C(x_C,\,y_C)}\texttt{ e}\\\texttt{raio r}\\\\ \mathtt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2}\\\\ \texttt{tiramos que a equa\c{c}\~ao de R representa uma circunfer\^encia}\\\texttt{com centro em }\mathtt{C(2,\,-4)}\texttt{ e raio }\mathtt{r=2.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \texttt{Reescrevendo a equa\c{c}\~ao com x em termos de y:}\\\\ \mathtt{(x-2)^2=4-(y+4)^2\qquad\quad(ii)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \texttt{Perceba que o lado direito est\'a igualado ao quadrado de}\\\texttt{um n\'umero real. Logo, a restri\c{c}\~ao para o dom\' inio de }\mathtt{R^{-1}}\\\texttt{\'e}\\\\ \mathtt{4-(y+4)^2\ge 0}\\\\ \mathtt{(y+4)^2\le 4}\end{array}$


$\large\begin{array}{l} \texttt{A desigualdade acima s\'o envolve termos n\~ao negativos.}\\\texttt{Logo, o sentido da desigualdade se mant\'em para as ra\'izes}\\\texttt{quadradas dos termos:}\\\\ \mathtt{\sqrt{(y+4)^2}\le \sqrt{4}\qquad\qquad mas~~\sqrt{(y+4)^2}=|y+4|}\\\\ \mathtt{|y+4|\le 2}\\\\ \mathtt{-2\le y+4\le 2}\\\\ \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathtt{-2-4\le y+4-4\le 2-4}\\\\ \mathtt{-6\le y\le -2}\quad\longleftarrow\quad\texttt{dom\'inio de }\mathtt{R^{-1}.} \end{array}$

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$\large\begin{array}{l} \texttt{Reescrevendo a equa\c{c}\~ao com y em termos de x:}\\\\ \mathtt{(y+4)^2=4-(x-2)^2\qquad\quad(iii)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \texttt{De forma an\'aloga, para encontrar a imagem de }\mathtt{R^{-1},}\\\texttt{devemos ter}\\\\\mathtt{4-(x-2)^2\ge 0}\\\\\mathtt{(x-2)^2\le 4}\\\\\mathtt{|x-2|\le 2}\\\\\mathtt{-2\le x-2\le 2} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathtt{-2+2\le x-2+2\le 2+2}\\\\ \mathtt{0\le x\le 4}\quad\longleftarrow\quad\texttt{imagem de }\mathtt{R^{-1}.} \end{array}$


$\large\texttt{Sendo assim,}$

•  $\large\begin{array}{l} \texttt{O dom\'inio da rela\c{c}\~ao inversa \'e o intervalo }\mathtt{[-6,\,-2],} \end{array}$
$\large\begin{array}{l} \texttt{representado na figura pelo segmento }\mathtt{\overline{DE}.} \end{array}$

•  $\large\begin{array}{l} \texttt{A imagem da rela\c{c}\~ao inversa \'e o intervalo }\mathtt{[0,\,4],} \end{array}$
$\large\begin{array}{l} \texttt{representado na figura pelo segmento }\mathtt{\overline{AB}.} \end{array}$


$\large\texttt{Bons estudos! :-)}$


Tags:  relação inversa domínio imagem equação geral circunferência geometria analítica álgebra