Question

Se a função real f é definida por f(x) = 10 / (2x + 2) com x diferente de – 1 então f -1 (2) é igual a:?

Answer 1

Oi Lalinha.

Dada a função f(x):

$y=\frac { 10 }{ (2x+2) }$

Lembrando que f(x) é a mesma coisa que y.
A primeira coisa a fazer é trocar x por y. Ficando assim:

$x=\frac { 10 }{ (2y+2) }$

O denominador passa para o outro lado multiplicando o x:

$2xy+2x=10$

Precisamos agora isolar o y, então o 2x vai para o outro lado:

$2xy=10-2x$

Colocando o 2x em evidência:

$y(2x)=10-2x$

Agora é só passar o 2x para o outro lado dividindo, assim teremos a inversa, que é:

$y=\frac { 10-2x }{ 2x }$

Olha só, isso não é necessário, mas irei comprovar que essa é a inversa da função principal.
Você pode fazer isso sempre que quiser comprovar se você conseguiu realmente achar a inversa.
Irei escolher o 4 e substituir na equação principal e resolver:

$y=\frac { 10 }{ (2x+2) } \\ \\ y=\frac { 10 }{ 2(4)+2 } \\ \\ y=\frac { 10 }{ 10 } \rightarrow 1\quad$

O par ordenado dessa função é:

$(4,1)$

Lembrando que o primeiro termo é o x e o segundo o y.

Agora irei substituir o valor do y que é 4 na inversa:

$y=\frac { 10-2x }{ 2x } \\ \\ y=\frac { 10-2(1) }{ 2(1) } \\ \\ y=\frac { 8 }{ 2 } \rightarrow 4\\ \\ (4,1)$

E olha só, achamos o par ordenado, que está inverso, e isso comprova que a questão está correta.

Mas ele quer a inversa de 2, então é só substituir 2 no lugar de x.

$f^{ -1 }(2)=\frac { 10-2x }{ 2x } \\ \\ f^{ -1 }(2)=\frac { 10-2(2) }{ 2(2) } \\ \\ f^{ -1 }(2)=\frac { 6 }{ 4 } \rightarrow \frac { 3 }{ 2 }$