Question

Determine b€R, para que a matriz A=|3 2b||b^2 b| seja simétrica.

Answer 1

Para que uma matriz seja simétrica, a matriz "A" tem que ser igual a sua transposta "At".

Para obter a matriz transposta de "A", basta trocar os elementos que estão em forma de linhas para colunas, e os que estão em colunas para linhas.

$A= \left[\begin{array}{ccc}3&2b\\b^2&b\\\end{array}\right] \\ \\ \\ A^t= \left[\begin{array}{ccc}3&b^2\\2b&b\\\end{array}\right]$


Iguala os elementos da matriz que tenha o "b" e resolve a equação

Pegando o elemento A21 da matriz  
Nota:
(A21, significa que está na matriz A, na segunda linha e na primeira coluna)

Iguala ao elemento At21

$b^2=2b \\ \\ b^2-2b \\ \\ \\\text{ Resolve por bhaskara} \\ \\ \triangle =(2)^2-4\cdot (1)\cdot 0 \\ \boxed{\triangle=4} \\ \\ X_1= \frac{-(-2)+ \sqrt{4} }{2\cdot(1)}~~~~\longrightarrow ~~~~ \boxed{\boxed{X_1=2}} \\ \\ \\ X_2= \frac{-(-2)- \sqrt{4} }{2\cdot(1)}~~~~\longrightarrow ~~~~\boxed{\boxed{X_2=0}}$


Após resolvermos a equação do segundo grau, encontramos 2 raízes, e elas que são as resposta do exercício.
Ou seja, o "b" pode assumir tanto o valor do 2, quando do 0, ambos irão fazer com que a matriz A seja simétrica

Substituindo o valor do b na matriz A e na matriz At. 

$A= \left[\begin{array}{ccc}3&2\cdot(2)\\2^2&2\\\end{array}\right] ~~~~\longrightarrow~~~~ A=\left[\begin{array}{ccc}3&4\\4&2\\\end{array}\right] \\ \\ \\ A^t= \left[\begin{array}{ccc}3&2^2\\2\cdot(2)&2\\\end{array}\right]~~~\longrightarrow~~~~A^t= \left[\begin{array}{ccc}3&4\\4&2\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \\ A=A^t \\ \\ \\ \text{Portanto para que a matriz A seja simetrica, o valor de "b" tem que} \\ \text{ser =2 ou =0}$



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