Question

determine o valor de m para que o triangulo de vértice A=(-2,-2,m) B(4,2,2) e C=(4,-10,6) seja um triangulo, retângulo com o angulo reto em A.
m=0
m=4
m=+-4
m=2
m=-2

Answer 1

Olá

A segunda alternativa é a correta, M=4


Como se trata de um triângulo retângulo, então podemos usar o teorema de pitágoras pra resolve-lo.

Criaremos o vetor AB e AC e o faremos como os catetos do triangulo, e criaremos o vetor CB e faremos dele a hipotenusa.

Por pitágoras temos que

$|\vec{CB}|^2=|\vec{AC}|^2+|\vec{AB}|^2$


Primeiro temos que calcular o comprimento dos lados (representados pelos 3 vetores que criaremos), para isso, basta calcular o módulo de seus vetores.

Criando os 3 vetores

$\vec{AB}=B-A=(4,2,2)-(-2,-2,m) \\ \\ \boxed{ \vec{AB}=(6,4,2-m)} \\ \\ \\ \vec{AC}=C-A=(4,-10,6)-(-2,-2,m) \\ \\ \boxed{\vec{AC}=(6,-8,6-m)} \\ \\ \\ \vec{CB}=C-B=(4,2,2)-(4,-10,6) \\ \\ \boxed{\vec{CB}=(0,12,4)}$


Calculando os módulos

$\vec{AB}=(6,4,2-m) \\ \\ |\vec{AB}|= \sqrt{(6)^2+(4)^2+(2-m)^2} \\ \\ |\vec{AB}|= \sqrt{36+16+m^2-4m+4}~~~\longrightarrow(Desenvolve~os~quadrados ) \\ \\ \boxed{|\vec{AB}|= \sqrt{m^2-4m+56}}~~~~~~~~ ~\longleftarrow Modulo~do~vetor~AB$

$\vec{AC}=(6,-8,6-m) \\ \\ |\vec{AC}|= \sqrt{(6)^2+(-8)^2+(6-m)^2} \\ \\ |\vec{AC}|= \sqrt{36+64+m^2-12m+36} \\ \\ \boxed{|\vec{AC}|= \sqrt{m^2-12m+136}}~~~~~~\longleftarrow Modulo~do~vetor~AC$

$\vec{CB}=(0,12,4) \\ \\ |\vec{CB}|= \sqrt{(0)^2+(12)^2+(4)^2} \\ \\ |\vec{CB}|= \sqrt{144+16} \\ \\ \boxed{ |\vec{CB}|= \sqrt{160} }~~~~ ~~\longleftarrow~Modulo~do~vetor~CB$


Agora que encontramos os módulos dos 3 vetores, vamos substituir na fórmula de pitágoras.

$|\vec{CB}|^2=|\vec{AC}|^2+|\vec{AB}|^2 \\ \\ \\ \left.\left( \sqrt{160} \,\mathrm{\,}\right)^2=\left.\left( \sqrt{m^2-12m+136} \,\mathrm{\,}\right)^2+\left.\left( \sqrt{m^2-4m+56} \,\mathrm{\,}\right)^2}$

Cancela as raízes com os expoentes

$160=m^2-12m+136+m^2-4m+56 \\ \\ \\ \text{Agrupa os termos em comum} \\ \\\\ 160=2m^2-16m+192 \\ \\ \\ \text{Iguala a zero} \\ \\\\ 2m^2-16m+192-160=0 \\ \\ 2m^2-16m+32=0 \\ \\ \\ \text{Resolvendo a equacao do segundo grau por bhaskara}$

$\displaystyle \triangle=(-16)^2-4\cdot(2)\cdot(32) \\ \\ \triangle=256-256 \\ \\ \triangle=0 \\ \\ \\ X_1= \frac{16\pm \sqrt{0} }{2\cdot(2)} \\ \\ \\ X_1= \frac{16+0}{4} ~~~~~~ \longrightarrow~~~~ ~\boxed{\boxed{X_1=4}} \\ \\ \\ X_2= \frac{16-0}{4}~~~~ ~~\longrightarrow~~~~~ \boxed{\boxed{X_2=4}}$


Resposta: Para que o triângulo retângulo tenha angulo reto (90º graus) no vértice A, m tem que ser igual a 4.