Question

qual é o limite de LIMx→∞(3x²-2x+1)/(4x³-8x+3)

Answer 1

Para resolver limites desse tipo considere apenas os termos de maior expoente de cada parcela da fração:

 $\lim _{x\to \infty }\left(\dfrac{3x^2}{4x^2}\right)$

Agora tente imaginar um numero infinitamente imenso tomando lugar de x. Como $4 x^{3}$ (denominador) é maior que o numerador $3 x^{2}$, o resultado da divisão vai ser um numero bem pequeno, bem proximo a 0. Logo:

$\lim _{x\to \infty }\left(\dfrac{3x^2-2x+1}{4x^3-8x+3}\right)=0$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Vilipedro, que a resolução também é simples, a exemplo da sua outra questão que resolvemos sobre este mesmo assunto.
Tem-se:

lim (3x²-2x+1)/(4x³-8x+3)
x-->∞

Note que se você for substituir o "x" diretamente por "∞" vai obter algo como "∞/∞", o que é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação. Uma das formas bem práticas pra isso é você encontrar a primeira derivada do numerador e do denominador de forma independente. Se ainda continuar a mesma indeterminação, você deriva novamente, até um ponto em que a indeterminação verificada tenha desaparecido.
Então vamos fazer isso.

i) Encontrando a primeira derivada da expressão dada.
Veja que a expressão dada é esta:

lim (3x²-2x+1)/(4x³-8x+3) ---- derivando numerador e denominador, teremos:
x-->∞

lim (6x - 2)/(12x² - 8)
x-->∞

Note que a indeterminação ainda perdurará se substituirmos o "x' por "∞", pois ainda iremos encontrar algo como "∞/∞".
Então vamos derivar novamente a expressão acima, com o que ficaremos assim:

lim (6) / (24x)
x-->∞

Note que agora já poderemos substituir o "x" por "∞" e você verá que teremos levantado a indeterminação. Assim, substituindo, na expressão acima o "x' por "∞", teremos:

6/24*∞ = 0 <--- Esta é a resposta. ou seja:

 lim (3x²-2x+1)/(4x³-8x+3) = 0 <--- Esta é a resposta.
x-->∞

Note que qualquer número que estiver sendo dividido por ∞ sempre tenderá a zero, pois o denominador é tão grande, mas tão grande, que essa divisão aproximar-se-á de zero. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.