Question

A solução do problema de valor inicial $x \frac{dy}{dx} +y=Inx,$ com y(1) = 2, é uma função do tipo y(x). Baseada nessa informação, pode-se afirmar que y(3) vale, aproximadamente:


a) 1


b) - 2


c) 2


d) - 1


e) 0

Questão original em anexo;

Answer 1

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Resolver o problema de valor inicial
 
      dy
x · ——  +  y  =  Ln(x)
      dx


com  x > 0,  y(1) = 2.

 
                                                          1
Multiplicando os dois lados por  —— , a equação fica
                                                         x

 dy         1                  Ln(x)
——  +  ——  ·  y  =  ————
 dx         x                     x


Temos uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, linear, não-homogênea e a coeficientes não-constantes.


A equação é na forma

 dy
——  +  p(x) · y  = q(x)
 dx

                        1                        Ln(x)
com  p(x)  =  ——   e   q(x)  =  ———— .
                        x                            x


Fator integrante:

$\mathsf{\mu(x)=e^{\int\!p(x)\,dx}}\\\\\\ \mathsf{\mu(x)=e^{\int\!\frac{1}{x}\,dx}}\\\\\\ \mathsf{\mu(x)=e^{Ln(x)}}\\\\\\ \mathsf{\mu(x)=x}$


Se multiplicarmos os dois lados pelo fator integrante, cairemos na equação original. Isto significa que o lado esquerdo desta equação pode ser visto como a derivada de um produto:

      dy
x · ——  +  y  =  Ln(x)
      dx

      dy
x · ——  +  1 · y  =  Ln(x)
      dx

      dy        dx
x · ——  +  —— ·  y  =  Ln(x)
      dx        dx

  d
—— (x · y) = Ln(x)
 dx


Integrando os dois lados com respeito a  x,

$\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{d}{dx}(x\cdot y)\,dx=\int\!Ln(x)\,dx}\\\\\\ \mathsf{x\cdot y=\displaystyle\int\!Ln(x)\,dx}$


A integral do lado direito sai por partes:

$\begin{array}{lcl} \mathsf{u=Ln(x)}&\quad\Rightarrow\quad&\mathsf{du=\dfrac{\,1\,}{x}\,dx}\\\\ \mathsf{dv=dx}&\quad\Leftarrow\quad&\mathsf{v=x} \end{array}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!u\,dv=u\cdot v-\int\!v\,du}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!Ln(x)\,dx=Ln(x)\cdot x-\int\!x\cdot \frac{\,1\,}{x}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!Ln(x)\,dx=x\,Ln(x)\cdot x-\int\!1\,dx}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!Ln(x)\,dx=x\,Ln(x)\cdot x-x+C}$


Logo, devemos ter

x · y = x Ln(x) – x + C


Para encontrar o valor da constante, aplicamos o valor inicial.

y = 2  para  x = 1:

1 · 2 = 1 Ln(1) – 1 + C

2 = 1 · 0 – 1 + C

C = 2 + 1

C = 3


e chegamos à expressão para a função:

x · y = x Ln(x) – x + 3

                            3
y = Ln(x) – 1  +  ——
                            x


Logo, para  x = 3,  temos
 
                                  3
y(3)  =  Ln(3) – 1 +  ——
                                  3

y(3)  =  Ln(3) – 1 + 1

y(3)  =  Ln(3)

y(3)  ≈  1,0986... ≈ 1


Resposta:  alternativa  a) 1.


Bons estudos! :-)