Question

Determine x E [0, 2π] para:
a) sen² x + 3.cos² x = 3/2
b) 2.cos² x = 3+3.sen x

Answer 1

A) Você pode montar um sistema de equações utilizando a equação fundamental da trigonometria: sen²x+cos²x=1, ficando da seguinte forma:

I) sen²x+3cos²x=3/2
II) sen²x + cos²x=1

Isolando o sen²x na segunda equação:

II) sen²x+cos²x=1
    sen²x=1-cos²x

Substituindo o (1-cos²x) no lugar do sen²x na primeira equação:

I) sen²x+3cos²x=3/2
   (1-cos²x)+3cos²x=3/2
   1-cos²x+3cos²x=3/2
   2cos²x=(3/2)-1
   2cos²x=(3/2)-(2/2)
   cos²x=(1/2)/2
   cos²x=1/4
   cos x=+- √(1/4)
   cos x=+-1/2

Há dois valores possíveis para o cosseno: 1/2 e -1/2
A próxima etapa é substituir esses valores na segunda equação e achar os possíveis valores de seno.

I) sen²x=1-cos²x    (utilizando cos x= 1/2)
   sen²x=1-(1/2)²
   sen²x=1-(1/4)
   sen²x=3/4
   sen x=+-√(3/4)
   sen x=+-√3/2
 
Isso quer dizer que para cos x=1/2, o sen x pode ser √3/2 ou -√3/2.

I) sen²x=1-cos²x      (utilizando cos x=-1/2)
   sen²x=1-(-1/2)²
   sen²x=1-(1/4)
   sen²x=3/4
   sen x=+-√(3/4)
   sen x=+-√3/2

Ou seja para cos x=-1/2, o sen x pode ser √3/2 ou -√3/2

Ao total, são quatro possibilidades de resposta que satisfazem as equações:

cos x=1/2 , sen x=√3/2  -----> x=60°   ou x= π/3
cos x=1/2 , sen x=-√3/2 -----> x=300° ou x= 5π/3
cos x=-1/2 , sen x=√3/2------> x=120° ou x= 2π/3
cos x=-1/2 , sen x=-√3/2-----> x=240° ou x= 4π/3

Como o argumento está em radianos, a resposta será:
x={π/3 , 2π/3 , 4π/3 , 5π/3}



B) Também utilizaremos um sistema com a equação fundamental da trigonometria como suporte. Porém note que nessa temos o seno com expoente 2 e também com o 1.

I) 2cos²x=3+3sen x
II) sen²x+cos²x=1

Isolando o cos²x na segunda equação:

II) sen²x+cos²x=1
    cos²x=1-sen²x

Substituindo o (cos²x) por (1-sen²x) na primeira equação:

I) 2cos²x=3+3sen x
   2(1-sen²x)=3+3sen x
   2-2sen²x=3+3sen x
   2-2sen²x-3-3sen x=0
   -2sen²x-3sen x -1=0  ------> resolvemos isso igual a uma equação de                                                                                                  segundo grau
   a=-2 , b=-3 , c=-1


Δ=b²-4ac
Δ=(-3)²-4(-2)(-1)
Δ=9-8
Δ=1

sen x= (-b+-√Δ)/(2a)
sen x= (-(-3)+-√(1))/(2(-2))
sen x= (3+-1)/-4

sen' x= (3+1)/-4
sen' x= 4/-4
sen' x= -1

sen'' x= (3-1)/-4
sen'' x= 2/-4
sen'' x=-1/2

Então, para o seno temos dois possíveis valore:  -1 e -1/2
Agora é substituir o valor de cada seno na segunda equação.

II) cos²x=1-sen²x    (utilizando sen x= -1)
    cos²x=1-(-1)²
    cos²x=1-(1)
    cos²x=1-1
    cos²x=0
    cos x=0
   
Para sen x=-1, só há cos x=0

II) cos²x=1-sen²x      (utilizando sen x=-1/2)
    cos²x=1-(-1/2)²
    cos²x=1-(1/4)
    cos²x=1-1/4
    cos²x=3/4
    cos x=+-√(3/4)
    cos x=+-√3/2

Para sen x=-1/2, o cosseno pode ser √3/2 ou -√3/2

Ao total, são três valores que satisfazem as equações:

sen x=-1    , cos x=0 -----> x=270° ou x= 3π/2
sen x=-1/2 , cos x=√3/2--> x=330° ou x= 11π/6
sen x=-1/2 , cos x=-√3/2-->x=210° ou x= 7π/6

Novamente, como o argumento está em radianos, a resposta será:
x={7π/6 , 3π/2 , 11π/6)