Question

Questão O SE TV tem sido um programa de sucesso por muitos anos. Esse telejornal tinha recentemente uma audiência de 2 pontos, significando que dentre os aparelhos de TV ligados 20% estavam sintonizados no SE TV. Suponha que um anunciante deseje verificar o valor da audiência de 20% realizando sua própria sondagem e que um teste seja feito com 10 residências com aparelhos de TV ligados no horário do telejornal.
a) Qual a probabilidade de nenhuma pessoa assistir o SE TV na residência? Resp. 0,107.
b) Ache a probabilidade de pelo menos uma residência estar sintonizada no SE TV. Resp. 0,893.
c) Ache a probabilidade de, no máximo, uma residência assistir ao telejornal. Resp. 0,375.

Answer 1

Assumindo independência entre os programa assistidos em cada casa (hipótese razoável), temos que o número de pessoas assistindo o canal, numa amostra de 10 pessoas, é uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros $n=10$ (tamanho da amostra) e $p=20\%=\frac{1}{5}$ (probabilidade de "sucesso", isto é, de assistir o canal)

Denotando X: número de pessoas que assistem o canal dentre 10 pessoas, temos que

$\mathsf{X\sim Bin(10,\,\frac{1}{5})}$

Então, a função de probabilidade de $X$ é dada por

$P(X=x)=\begin{cases}\binom{10}{x}(\frac{1}{5})^{x}(1-\frac{1}{5})^{10-x}~~~\mathsf{se~x\in\{0,1,2,3,...,9,10\}}\\\\0,~~\mathsf{caso~contr\'ario}\end{cases}$

Ou, equivalentemente,

$\boxed{\boxed{P(X=x)=\binom{10}{x}\bigg(\frac{1}{5}\bigg)^{x}\bigg(\frac{4}{5}\bigg)^{10-x}\mathtt{I}_{\{0,1,2,3,...,10\}}(x)}}$

Onde $I_{A}(\cdot)$ é a função indicadora de A, definida por

$\mathtt{I}_{A}(x)=\begin{cases}1,~~~\mathsf{se~x\in A}\\0,~~~\mathsf{se~x\not\in A}\end{cases}$
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LETRA A

Estamos interessados em calcular a probabilidade do evento $\mathsf{\{ningu\'em~assistir~ao~canal\}\equiv\{X=0\}}$

Pela função de probabilidade, temos

$P(X=0)=\binom{10}{0}\cdot(\frac{1}{5})^{0}\cdot(\frac{4}{5})^{10-0}\\\\\\P(X=0)=1\cdot1\cdot(\frac{4}{5})^{10}\\\\\\P(X=0)=\big(\frac{4}{5}\big)^{10}\\\\\\\boxed{\boxed{P(X=0)\approx0,1074}}$
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LETRA B

Agora, estamos interessados em atribuir probabilidade ao evento

$\mathsf{\{pelo~menos~uma~resid\^encia~estar~sintonizada\}}$

Note que esse evento é o complementar de $\mathsf{nenhuma~resid\^encia~estar~sintonizada}$, pois a interseção entre esses conjuntos é claramente varia, e a união nos dá todos os casos possíveis

Então, temos o seguinte:

$\bullet\,\,\mathsf{\{pelo~menos~uma~resid\^encia~estar~sintonizada\}\equiv\{X\ge1\}}\\\\\bullet\,\,\mathsf{\{nenhuma~resid\^encia~estar~sintonizada\}}\equiv\{X=0\}\\\\\bullet\,\,\mathsf{\{X\ge1\}=\{X=0\}^{c}}$

(na verdade, a última informação é falsa, cometi um abuso de notação, pois $\{X\ge1\}=\{X~\textless~1\}^{c}=\{X~\textless~0\}\cup\{0\le X~\textless~1\}$, mas o primeiro conjunto da união possui probabilidade nula, e o único elemento do segundo conjunto da união que possui probabilidade não-nula é $X=0$)

Logo

$P(X\ge1)=p(\{X=0\}^{c})\\\\P(X\ge1)=1-P(X=0)\\\\P(X\ge1)\approx1-0,1074\\\\\\\boxed{\boxed{P(X\ge1)\approx0,8926}}}$
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LETRA C

O evento de interesse nesse caso é

$\mathsf{\{no~m\'aximo~uma~resid\^encia~estar~sintonizada\}\equiv\{X=0~ou~X=1\}}\\\\\mathsf{\equiv\{X\le1\}}$

Logo:

$P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)\\\\P(X\le1)\approx0,1074+P(X=1)\\\\P(X\le1)\approx0,1074+\binom{10}{1}(\frac{1}{5})^{1}(\frac{4}{5})^{10-1}\\\\P(X\le1)\approx0,1074+10\cdot\frac{1}{5}\cdot(\frac{4}{5})^{9}\\\\P(X\le1)\approx0,1074+2\cdot(\frac{4}{5})^{9}\\\\P(X\le1)\approx0,1074+2\cdot0,1342\\\\P(X\le1)\approx0,1074+0,2684\\\\\\\boxed{\boxed{P(X\le1)\approx0,3758}}$