Question

A soma do quadrado de dois números é 5 e a diferença entre estes quadrados é igual a 1. Determine esses números:
(A) V = {( - raiz de 3, raiz de 2),( - raiz de 3, - raiz de 2),( raiz de 3, raiz de 2),( raiz de 3,- raiz de 2)}
(B) V = {(3,2)}
(C) V = {( -3, -2)}
(D) V = {( raiz de 3, raiz de 2),( - raiz de 3, - raiz de 2)}
(E) V = {( - raiz de 3, raiz de 2),( raiz de 3, - raiz de 2)}

Se puderem botar as contas, agradecerei.

Answer 1

Vamos chamar esses números de $a$ e $b$.

Assim, como a soma de seus quadrados é $5$, temos $a^2+b^2=5$.

Além disso, sabemos que, a diferença entre esses quadrados é $1$.

Deste modo, $a^2-b^2=1$. Somando $2b^2$ em ambos os membros da segunda equação, obtemos:

$a^2-b^2+2b^2=2b^2+1$, isto é, $a^2+b^2=2b^2+1$.

Como $a^2+b^2=5$, segue que, $2b^2+1=5$.

Deste modo, $2b^2=4$, e portanto, $b^2=2$.

Assim, $b=\pm\sqrt{2}$. 

Da segunda equação, temos, $a^2=1+b^2$.

Ou seja, $a=\pm\sqrt{1+b^2}$.

Como $b=\pm\sqrt{2}$, obtemos:

$a=\pm\sqrt{1+(\pm\sqrt{2})^2}$

$a=\pm\sqrt{1+2}$

$a=\pm\sqrt{3}$.

Portanto, as possíveis soluções são :

$(a, b)=(-\sqrt{3}, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{3}, \sqrt{2})$, $(\sqrt{3}, \sqrt{2})$ e $(\sqrt{3}, -\sqrt{2})$

$\texttt{Alternativa A}$