Question

De todos os anagramas da palavra ”BRAINLY” considere que foram retirados todos os que começam por “BRAI”

Assim qual é a probabilidade de escolhermos aleatoriamente um anagrama …em que pelo menos uma das letras “N, L e Y” …estejam na sua posição original!!

…por favor resposta detalhada a este pequeno desafio!

Answer 1

Olá.

Podemos descobrir a probabilidade a partir do Princípio Fundamental da Contagem (PFC), onde montaremos uma fração com a quantidade de possibilidades que queremos (n), sendo dividida pela quantidade que temos (p).

Assim:
$\dfrac{n}{m}$

BRAI será fixo, enquanto haverá permutação em NLY.
Haverá essas possibilidades:

NLY
NYL

YNL
YLN

LYN
LNY

Notamos nos casos citados, 4 possibilidades são favoráveis. Tendo em mente que são 6 possibilidade, assim temos a razão:
$\boxed{\dfrac{4}{6}}$

Simplificando...
$\boxed{\boxed{\dfrac{2}{3}}}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.

Answer 2

$Considerando \ a \ palavra \ \boxed{\underline{B} \ \underline{R} \ \underline{A} \ \underline{I} \ \underline{N} \ \underline{L} \ \underline{Y}} \ , \ temos \ que \ todos \ os \\ \\ anagramas \ come\c{c}ados \ por \ \boxed{\underline{B} \ \underline{R} \ \underline{A} \ \underline{I} \ \underline{?} \ \underline{?} \ \underline{?}} \ poderiam \ ser \\ \\ calculados \ pela \ permuta\c{c}\tilde{a}o \ das \ tr\hat{e}s \ letras \ restante \ N ,Y,L \ . \\ \\ Logo :$

$x \ = \ P_3 \\ x \ = \ 3! \\ x \ = \ 6 \ casos$

∴$Sendo \ que \ x \ representa \ todos \ casos \ poss\acute{i}veis \ . \ Por \ isso \ , \ irei \\ chamar \ x \ por \ \Omega \ ; \ \Omega \ = \ 6$

$Para \ calcular \ a \ probabilidade \ de \ todos \ os \ casos \ em \ que \ os \\ anagramas \ s\tilde{a}o \ come\c{c}ados \ por \ \boxed{\underline{B} \ \underline{R} \ \underline{A} \ \underline{I} \ \underline{?} \ \underline{?} \ \underline{?}} \ e \ que \ tenham \\ pelo \ menos \ uma \ das \ letras \ N,Y,L \ em \ suas \ respectivas \ posi\c{c}\tilde{o}es \\ originais \ irei \ utilizar \ a propriedade \ da \ probabilidade \ do \ conjunto \\ complementar \ . \ Ou \ seja \ , \ irei \ calcular$ $todos \ os \ casos \ nos \ quais \ nenhuma \ dessas \ letras \ estejam \ em \\ suas \ respectivas \ posi\c{c}\tilde{o}es \ .$

$O \ ret\hat{a}ngulo \ a \ seguir \ \boxed{\underline{?} \ \underline{?} \ \underline{?}} \ representa \ as \ possibilidades \ de \ se \\ \\ come\c{c}ar \ um \ anagrama \ por \ \boxed{\underline{B} \ \underline{R} \ \underline{A} \ \underline{I} \ \underline{?} \ \underline{?} \ \underline{?}} \ e \ terminar \ com \\ N,L,Y \ .$

$N\tilde{a}o \ queremos \ que \ as \ letras \ do \ ret\hat{a}ngulo \ \boxed{\underline{?} \ \underline{?} \ \underline{?}} \ coincidam \\ as \ posi\c{c}\tilde{o}es \ originais \ . \ Para \ isso \ : \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{ \underline{?} \ \ \ \ \ \underline{?} \ \ \ \ \ \underline{?}} \\ N \ = \ 2 \ . \ 1 \ . \ 1 \\ N \ = \ 2 casos$

$Perceba \ que \ a \ possibilidade \ 2 \ ( num \ primeiro \ momento ) \\ deve- se \ ao \ fato \ de \ que \ ter\acute{i}amos \ tr\hat{e}s \ n\acute{u}meros \ para \\ colocar \ nessa \ posi\c{c}\tilde{a}o \ , \ mas \ devido \ a \ restri\c{c}\tilde{a}o \ s\acute{o} \ poder\acute{i}amos \\ utilizar \ dois \ . \ Assim \ como \ nas \ demais \ posi\c{c}\tilde{o}es.$

$A \ probabilidade \ do \ evento \ complementar \ (P^c) \ ent\tilde{a}o \ pode \ calculada \ por \ :$

$P^c \ = \ \frac{N}{\Omega} \\ \\ P^c \ = \ \frac{2}{6}$

$Utilizando \ da \ propriedade \ do \ conjunto \ complementar \ , \ irei \\ calcular \ a \ probabilidade \ ( P ) \ do \ evento \ requerido \ : \\ P \ + \ P^c \ = \ 1 \\ \\ P \ + \frac{2}{6} \ = \ 1 \\ \\ P \ = \frac{4}{6} \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{P \ = \ \frac{2}{3} } } }$