Question

A expressão da derivada y’ para a função dada implicitamente pela expressão y³ = (x-y)/(x+y)

Answer 1

Derivando os dois lados da expressão em relação a x, obtemos:

$y^3=\dfrac{x-y}{x+y}\\\\ \dfrac{d}{dx}(y^3)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right)\\\\ 3y^2\cdot y'=\dfrac{(x-y)'(x+y)-(x-y)(x+y)'}{(x+y)^2}\\\\ 3y^2y'=\dfrac{(1-y')(x+y)-(x-y)(1+y')}{(x+y)^2}\\\\ 3y^2y'=\dfrac{(x+y)-(xy'+yy')-(x+xy')+(y+yy')}{(x+y)^2}\\\\ 3y^2y'=\dfrac{2y-2xy'}{(x+y)^2}\\\\ 3y^2(x+y)^2y'=2y-2xy'\\\\ 3y^2(x+y)^2y'+2xy'=2y\\\\ (3y^2(x+y)^2+2x)y'=2y\\\\ \boxed{y'=\dfrac{2y}{3y^2(x+y)^2+2x}}$