Question

Calcule a integral abaixo:
$\int\ { x^{2} e^{x} } \, dx$

Answer 1

É dada a integral: $\displaystyle I=\int x^2e^x\,dx$

Vamos resolver a integral dada por integração por partes:

Sejam:

$u=x^2\Longrightarrow du=2xdx\\\\ dv=e^xdx\Longrightarrow v=e^x$

Usando a fórmula abaixo:

$\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du+C_1\\\\ \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int e^x\cdot2xdx+C_1\\\\ I=x^2e^x-2\underbrace{\int xe^x\,dx}_{I_2}+C_1$

Vamos resolver a integral I₂ por partes também. Assim, sejam:

$w=x\Longrightarrow dw=dx\\\\ dt=e^xdx\Longrightarrow t=e^x$

Logo:

$\displaystyle \int w\,dt=wt-\int t\,dw+C_2\\\\ \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\cdot dx+C_2\\\\ I_2=xe^x-e^x+C_2$

Substituindo que o foi obtido acima na expressão de I:

$\displaystyle I=x^2e^x-2I_2+C_1\\\\ I=x^2e^x-2(xe^x-e^x+C_2)\\\\ I=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C\\\\ \boxed{\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C}$