Question

Determine o valor de x para que a sequência ( x² + 14, 5x, x + 6) seja um PA.

Answer 1

Por definição, em uma PA de 3 termos, o segundo termo é igual a média aritmética do primeiro termo com o terceiro termo, assim:

a2 = (a1 + a3)/2        ou, pra deixar as coisas um pouco mais fáceis:
2 . a2 = a1 + a3         substituindo:

2.(5x) = (x² + 14) + (x + 6) 
10x = x² + 14 + x + 6 
0 = x² + 14 + x + 6 - 10x 
x² + 14 + x + 6 - 10x = 0
x² - 9x + 20 = 0

Vou resolver por soma e produto:

S = -b/a = -(-9)/1 = 9
P = c/a = 20/1 = 20

"Ache dois números que somando dão 9 e multiplicando dão 20"
Os números são 5 e 4, pois 5 + 4 = 9 e 5 . 4 = 20.

x1 = 5 e x2 = 4   << em ambos os casos a sequencia se tornará uma PA.

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Prova real: 
p/x = 5                                                      p/x = 4

( x² + 14, 5x, x + 6)                              (x² + 14, 5x, x + 6)                   
((5)² + 14, 5(5), (5)+6)                        ((4)² + 14, 5(4), (4)+6) 
(25 + 14, 25 , 11)                                (16 + 14, 20, 10 ) 
(39, 25 , 11)                                         (30,20,10)
PA de razão -14                                  PA de razão -10

Bons estudos