Sendo ABC um triângulo cuja medida dos seus lados são expressas por número inteiros. Tendo a relação entre os ângulos: e . Calcule o perímetro mínimo deste triângulo.
Anônimo:
oi tiagumascos
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Considere o triângulo da imagem em anexo a esta resposta.
•
•
•
Como é um ângulo obtuso, devemos ter
e como ângulos internos de um triângulo devem ser positivos,
O lado de maior comprimento é o lado oposto ao maior ângulo, que mede c. Vale a desigualdade triangular:
c < a + b
Pela Lei dos Senos, temos que
Tínhamos que
e como o cosseno é decrescente nesse intervalo,
Então para minimizar o perímetro, a razão deve estar o mais próximo possível de
—————
Aplicando a Lei dos Cossenos, temos que
Como a e b são inteiros, então é um número racional maior que
—————
Vamos procurar os menores valores para a e b que resolvam o problema.
• Testando
Substituindo em (iii), obtemos
O discriminante é um quadrado perfeito, então garantimos que o c é no mínimo racional. Resolvendo a equação quadrática para c, encontramos
c = 5: não serve, pois o triângulo em questão não é isósceles (para isso, os dois ângulos menores deveriam ser iguais, mas um é o dobro do outro)
c = 56: não serve, pois este valor não satisfaz a desigualdade triangular, isto é, 9 + 5 < 56.
• Testando
Substituindo em (iii) e resolvendo para c:
c = 50: não serve, pois o triângulo em questão não é isósceles;
c = 5069/50: não serve, pois este valor não é inteiro.
Se insistíssemos com mas com valores maiores para a e b, obteríamos perímetros cada vez ainda maiores.
• Testando
Substituindo em (iii) e resolvendo para c:
c = 4: não serve, pois o triângulo em questão não é isósceles;
c = 33/4: não serve, pois este valor não é inteiro.
Ainda com para a equação fica
c = 8: não serve;
c = 33/2: não serve, pois não é inteiro.
Insistindo ainda com para encontramos
c = 12: não serve, pois o triângulo em questão não é isósceles;
c = 99/4: não serve, pois não é inteiro.
Mas finalmente, ainda insistindo com para a equação fica
c = 16: não serve;
c = 33: serve, pois este valor é inteiro e satisfaz a desigualdade triangular, isto é, 33 < 28 + 16.
Portanto, o triângulo que apresenta menor perímetro possui medidas
a = 28, b = 16, c = 33
e o perímetro mínimo é
a + b + c
= 28 + 16 + 33
= 77 <——— esta é a resposta.
Bons estudos! =)
Anexos:
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