• Matéria: Matemática
  • Autor: Anônimo
  • Perguntado 8 anos atrás

Sendo ABC um triângulo cuja medida dos seus lados são expressas por número inteiros. Tendo a relação entre os ângulos: \hat{A}=2 \cdot \widehat{B} e \widehat{C}\  \textgreater \ 90^{\circ}. Calcule o perímetro mínimo deste triângulo.


Anônimo: oi tiagumascos
Anônimo: macos

Respostas

respondido por: Lukyo
5

Considere o triângulo da imagem em anexo a esta resposta.

     •   \mathsf{med(\widehat{B})=x;}

     •   \mathsf{med(\widehat{A})=2x;}

     •   \mathsf{med(\widehat{C})=180^\circ-3x.}


Como  \mathsf{\widehat{C}}  é um ângulo obtuso, devemos ter

     \mathsf{180^\circ-3x>90^\circ}\\\\ \mathsf{3x<180^\circ-90^\circ}\\\\ \mathsf{3x<90^\circ}\\\\ \mathsf{x<30^\circ}

e como ângulos internos de um triângulo devem ser positivos,    

     \mathsf{0<x<30^\circ.}


O lado de maior comprimento é o lado oposto ao maior ângulo, que mede  c. Vale a desigualdade triangular:

      c < a + b


Pela Lei dos Senos, temos que

     \mathsf{\dfrac{a}{sen\,2x}=\dfrac{b}{sen\,x}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{sen\,2x}{sen\,x}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2\,sen\,x\,cos\,x}{sen\,x}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a}{b}=2\,cos\,x}\qquad\quad(i)}


Tínhamos que

     \mathsf{0&lt;x&lt;30^\circ}


e como o cosseno é decrescente nesse intervalo,

\mathsf{cos\,30^\circ&lt;cos\,x&lt;cos\,0}\\\\ \mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}&lt;cos\,x&lt;1}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{3}&lt;2\,cos\,x&lt;2}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{3}&lt;\dfrac{a}{b}&lt;2\qquad\quad(ii)}


Então para minimizar o perímetro, a razão  \mathsf{\dfrac{a}{b}} deve estar o mais próximo possível de  \mathsf{\sqrt{3}.}

—————

Aplicando a Lei dos Cossenos, temos que
 
     \mathsf{b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\,x}\\\\ \mathsf{b^2=a^2+c^2-ac\cdot 2\,cos\,x}\\\\ \mathsf{b^2=a^2+c^2-ac\cdot \dfrac{a}{b}}\\\\\\ \mathsf{b^2=a^2+c^2-\dfrac{a^2c}{b}}\\\\\\ \mathsf{b^3=a^2b+bc^2-a^2c}\\\\ \mathsf{bc^2-a^2c+a^2b-b^3=0\qquad\quad(iii)}


Como  a  e  b  são inteiros,  então  \mathsf{\dfrac{a}{b}=2\,cos\,x}  é um número racional maior que  \mathsf{\sqrt{3}=1,\!732\ldots}

—————

Vamos procurar os menores valores para  a  e  b  que resolvam o problema.

•   Testando  \mathsf{\dfrac{a}{b}=1,\!8:}

\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{9}{5}}\\\\\\ \mathsf{a=9~~e~~b=5}


Substituindo em  (iii),  obtemos

     \mathsf{5c^2-9^2c+9^2\cdot 5-5^3=0}\\\\ \mathsf{5c^2-81c+280=0}\\\\\\ \mathsf{\Delta=(-81)^2-4\cdot 5\cdot 280}\\\\ \mathsf{\Delta=961=31^2}

O discriminante é um quadrado perfeito, então garantimos que o  c  é no mínimo racional. Resolvendo a equação quadrática para  c,  encontramos
 
     c = 5:   não serve, pois o triângulo em questão não é isósceles (para isso, os dois ângulos menores deveriam ser iguais, mas um é o dobro do outro)

     c = 56:   não serve, pois este valor não satisfaz a desigualdade triangular, isto é,  9 + 5 < 56.


•   Testando  \mathsf{\dfrac{a}{b}=1,\!74:}

\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{87}{50}}\\\\\\ \mathsf{a=87~~e~~b=50}


Substituindo em  (iii)  e resolvendo para  c:

     \mathsf{50c^2-87^2c+87^2\cdot 50-50^3=0}\\\\ \mathsf{50c^2-7569c+253450=0}\\\\\\ \mathsf{\Delta=(-7569)^2-4\cdot 50\cdot 253450}\\\\ \mathsf{\Delta=6599761}\\\\ \mathsf{\Delta=2569^2}

     c = 50:   não serve, pois o triângulo em questão não é isósceles;

     c = 5069/50:   não serve, pois este valor não é inteiro.


Se insistíssemos com  \mathsf{\dfrac{a}{b}=1,\!74\,,}  mas com valores maiores para  a  e  b,  obteríamos perímetros cada vez ainda maiores.


•   Testando  \mathsf{\dfrac{a}{b}=1,\!75:}

\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{7}{4}}\\\\\\ \mathsf{a=7~~e~~b=4}


Substituindo em  (iii)  e resolvendo para  c:

     \mathsf{4c^2-7^2c+7^2\cdot 4-4^3=0}\\\\ \mathsf{4c^2-49c+132=0}\\\\\\ \mathsf{\Delta=(-49)^2-4\cdot 4\cdot 132}\\\\ \mathsf{\Delta=289=17^2}

     c = 4:   não serve, pois o triângulo em questão não é isósceles;

     c = 33/4:   não serve, pois este valor não é inteiro.


Ainda com  \mathsf{\dfrac{a}{b}=1,\!75\,,}  para  \mathsf{a=14~~e~~b=8\,,}  a equação fica

     \mathsf{8c^2-196c+1056=0}

     c = 8:   não serve;

     c = 33/2:   não serve, pois não é inteiro.


Insistindo ainda com  \mathsf{\dfrac{a}{b}=1,\!75\,,} para  \mathsf{a=21~~e~~b=12\,,}  encontramos

     c = 12:   não serve, pois o triângulo em questão não é isósceles;

     c = 99/4:   não serve, pois não é inteiro.


Mas finalmente,  ainda insistindo com  \mathsf{\dfrac{a}{b}=1,\!75\,,} para  \mathsf{a=28~~e~~b=16\,,}  a equação fica

     \mathsf{16c^2-784c+8448=0}

     c = 16:   não serve;

     c = 33:   serve,  pois este valor é inteiro e satisfaz a desigualdade triangular, isto é,  33 < 28 + 16.


Portanto, o triângulo que apresenta menor perímetro possui medidas

     a = 28,  b = 16,   c = 33


e o perímetro mínimo é

     a + b + c

     = 28 + 16 + 33

     = 77   <———   esta é a resposta.


Bons estudos! =)

Anexos:

Anônimo: vi
Perguntas similares