Question

A área de um triângulo pode ser dada através do Produto Vetorial de dois vetores que formam os lados desse triângulo. A metade do módulo desse produto é numericamente igual à área do triângulo. Conhecendo-se a área e o comprimento da base, pode-se também calcular a altura.
ENUNCIADO: os vertices de um triangulo sao os produtos A(-1,2,4), B(3,-3,4) e C(-1,6,1). Podemos afirmar que a altura relativa ao vertice B é:
a) h=7cm
b) h=2cm
c)h=5cm
d)h=4cm
e)h=8cm

Answer 1

Resposta letra C: h=5cm

Answer 2

A área do triângulo é calculada pela fórmula:

$A= \frac{1}{2}.|BA.BC|$

BA = (-4,5,0) e BC = (-4,9,-3)

Fazendo o produto vetorial BA.BC obtemos:

                |i     j     k|
BA.BC =  |-4   5    0|
               |-4    9   -3|

BA.BC = i(5.(-3) - 9.0) - j((-4)(-3) - (-4).0) + k((-4).9 - (-4).5)
BA.BC = i(-15) - j(12) + k(-16)

Então, BA.BC = (-15,-12,-16).

Daí, 

$|BA.BC|= \sqrt{(-15)^2+(-12)^2+(-16)^2}$
$|BA.BC|= \sqrt{625}$
|BA.BC| = 25

Portanto,

$A= \frac{25}{2}$

Agora, vamos calcular a distância do vértice A até o C, pois AC é a base relativa ao vértice B:

$d(A,C)= \sqrt{(-1+1)^2+(6-2)^2+(1-4)^2}$
$d(A,C)= \sqrt{16+9}$
$d(A,C)= \sqrt{25}$
d(A,C) = 5

Como a área do triângulo é igual a metade do produto da base pela altura, então temos que:

$\frac{25}{2}= \frac{5.h}{2}$
5h = 25
h = 5 cm

Portanto, a alternativa correta é a letra c)