Question

Boa noite? Estou interessado numa solução didática para esse exercício:
Um numero quando dividido por 2 deixa resto 1 e também quando dividido por 3 e 5 tb deixa resto 1. Se ele é múltiplo de 7, qual é esse número?
Muito obrigado a quem possa colaborar.

Answer 1

Vamos chamar esse número de $N$.

Como $N$ deixa resto $1$ quando dividido por $2$, podemos escrevê-lo na forma $N=2a+1$, com $a\in\mathbb{Z}$.

Do mesmo modo, como $N$ deixa resto $1$ quando dividido por $3$ e por $5$, pode ser escrito nas formas:
 
$N=3b+1$ e $N=5c+1$, com $b, c\in\mathbb{Z}$.

Mas, também sabemos que, $N$ é múltiplo de $7$, isto é, $N=7d$, com $d\in\mathbb{Z}$.

Assim, $2a+1=3b+1=5c+1=7d$, ou seja:

$2a=3b=5c=7d-1$

Observe que, $mmc(2, 3, 5)=30$, logo:

$N=30k+1=7d$

Assim, $7d-30k=1$.

Uma solução particular é $(d_0, k_0)=(13, 3)$.

As soluções gerais são $d=13-30t$ e $k=3-7t$.

Logo, $N=30(3-7t)+1=91-210t$.

O número procurado é $91$.