Analise a figura a seguir.
Sabendo que EP é o raio da semicircunferência de centro em E, como mostra a figura acima, determine o valor da área mais escura e assinale a opção correta,
Dado: número π = 3
a)10 cm²
b)12 cm²
c) 18cm²
d) 22 cm²
e) 24 cm²
Respostas
Veja, Maiara, que a resolução é simples.
Primeiro vamos encontrar qual é a área da semicircunferência.
Note: a área de uma circunferência (Ac) é dada por:
Ac = π*r²
i) Ora, como a área acima é de uma circunferência inteira, então a área de uma semicircunferência (As) será igual à área da circunferência inteira dividida por "2".
Logo, a área da semicircunferência (As) será dada por:
As = π*r² / 2 ---- como já foi dado que se considerasse π = 3, então vamos substituir "π" por "3", ficando assim:
As = 3r²/ 2 . (I)
ii) Agora vamos trabalhar com a área do triângulo.
Note que ele é um triângulo retângulo BAD, , retângulo em A.
Note que se o triângulo é retângulo em A, então o segmento BD é a hipotenusa (5 cm). Já temos também que o lado AB vale 3cm (pois é igual ao segmento DC).
Agora se aplicarmos Pitágoras, iremos encontrar a medida do lado AD (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado). Então, aplicando Pitágoras, teremos isto:
5² = 3² + (AD)²
25 = 9 + (AD)²
25 - 9 = (AD)²
16 = (AD)² ---- vamos apenas inverter, ficando:
(AD)² = 16
AD = +-√(16) ----- como √(16) = 4, teremos:
AD = +-4 ------mas como a medida de um lado não pode ser negativa, então ficaremos com a raiz positiva e igual a:
AD = 4 cm <--- Esta é a medida do lado AD.
Agora note: se o lado AD = 4cm e como "E" é o centro da semicircunferência, então o raio dela será igual a "2" (basta dividir AD por "2" e encontraremos o seu ponto médio). Logo: 4/2 = 2 cm <-- Esta é a medida do raio da semicircunferência.
Assim, se tomarmos a expressão (I), que é esta:
As = 3r² / 2 ---- e substituirmos "r' por "2", teremos;
As = 3*2² / 2
As = 3*4 / 2
As = 12 / 2
As = 6 cm² <--- Esta é a área da semicircunferência.
Agora vamos encontrar a área do triângulo retângulo. Note que já sabemos que os catetos do triângulo retângulo, como vimos antes, são:
AB = 3cm e AD = 4cm.
Mas a área de um triângulo retângulo basta você multiplicar os catetos e dividir por "2". Então, chamando a área do triângulo retângulo de (At), teremos;
At = 3*4/2
At = 12/2
At = 6 cm².
iii) Assim, como está sendo pedida é a área de toda a figura mais escura, então basta que somemos as áreas da semicircunferência (As) com a área do triângulo retângulo (At) e teremos a área pedida. Logo:
As + At = 6 + 6
As + At = 12 cm² <--- Esta é a resposta. Opção "b".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
O valor da área mais escura é 12 cm².
Observe que a área mais escura é igual à soma da área do triângulo ABD com a área da semicircunferência de centro E e raio EP.
Sabemos que a área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura.
Veja que temos a medida da altura do triângulo (3 cm), mas não temos a medida da base.
Como ABD é um triângulo retângulo de hipotenusa 5 cm, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular a medida do segundo cateto:
5² = AD² + 3²
25 = AD² + 9
AD² = 25 - 9
AD² = 16
AD = 4 cm.
Logo, a área do triângulo é igual a:
A' = 4.3/2
A' = 6 cm².
Sabemos que o centro é o ponto médio do diâmetro. Como o diâmetro da semicircunferência mede 4 cm, então podemos afirmar que o raio é igual a 2 cm.
A área de uma semicircunferência é igual a metade da área de uma circunferência, ou seja, πr²/2.
Assim, a área é igual a:
A'' = π.2²/2
A'' = 2π
A'' = 2.3
A'' = 6 cm².
Portanto, a área mais escura é igual a:
A = 6 + 6
A = 12 cm².
Para mais informações sobre área: https://brainly.com.br/tarefa/3998816
