Question

Riquinho distribuiu 1 000,00 reais entre os seus amigos Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte maneira: deu, sucessivamente, 1 real ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais ao Bernardo etc. Qual foi a quantia recebida por Bernardo?

Answer 1

Os $1~000$ reais de Riquinho foram repartidos em parcelas crescentes a partir de $1$, de modo que $1+2+3+\dots+n\le1~000$.

Como $1+2+3+\dots+n$ é a somados $n$ primeiros números inteiros a partir de $1$, temos $1+2+3+\dots+n=\dfrac{1}{2}(1+n)n$.

Assim, queremos encontrar o maior $n$ tal que $\dfrac{1}{2}(1+n)n=1+2+3+\dots+n\le1~000$, ou seja, tal que $n^2+n-2~000\le0$.

Como $n^2+n-2~000$ é igual a $-2~000$ para $n=0$ e o coeficiente dominante desse polinômio é $1>0$, sabemos que os valores de $n^2+n-2~000$ são negativos para todo $n$ entre $0$ e a raiz positiva do polinômio quadrático $x^2+x-2~000$. 

Pela fórmula de Bhaskara, a raiz positiva é dada por:

$x=\dfrac{-1+\sqrt{1+8~000}}{2}\approx44,22$,
portanto $n^2+n>2~000$ para $n\ge45$. Assim, Riquinho distribuiu apenas $44$ parcelas. 

Como Bernardo recebeu a segunda parcela, a quinta parcela $(5=2+3)$, a oitava parcela $(8=2+2\times3)$, e assim por diante, também recebeu a última, já que $44=2+14\times3$, num total de

$2+5+8+11+\dots+44=\dfrac{1}{2}(44+2)\times15=23\times15=345$ reais.

Answer 2

A resposta está na imagem .

Tenha bons estudos !