Question

Para quantos valores de n, onde n é um número natural, a expressão abaixo será um número primo?

$\large\begin{array}\mathsf{\mathsf{8^n-1}}\end{array}$


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Por favor responder de forma clara. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

1. (8ⁿ - 1) , um número primo só tem dois fatores : 1 e ele mesmo

8ⁿ - 1 = 2³ⁿ - 1 = (2ⁿ)³ - 1 = (2ⁿ - 1)(2²ⁿ + 2ⁿ + 1)

Se N é um número primo, então N = 1.N

Fazendo 2ⁿ - 1 = 1 => 2ⁿ = 2 => n = 1

ou 2³ⁿ - 1 = 2²ⁿ + 2ⁿ + 1

2³ⁿ - 2²ⁿ - 2ⁿ - 2 = 0

(2ⁿ)³ - (2ⁿ)² - 2ⁿ - 2 = 0

Fazendo 2ⁿ = y

y³ - y² - y - 2 = 0 ( as possíveis raízes reais, (-1, 1, -2, 2), interessa apenas verificar 1 e 2, pois 2ⁿ = -1 ou a -2, é impossível

     1   -   1    -1    -2
--------------------------
1 | 1       0     -1   -3   ( 1 não é raiz)
--------------------------
 2| 1       1      1     0  ( 2 é raiz) => y = 2

2ⁿ = y => 2ⁿ =  2¹ => n = 1

Fazendo agora, 2³ⁿ - 1 = 2ⁿ - 1 => 2³ⁿ = 2ⁿ => 3n = n ==> 3n - n = 0 => 2n = 0 => n = 0
(não serve)

2²ⁿ + 2ⁿ + 1 = 1 => (2ⁿ)² + 2ⁿ = 0  => 2ⁿ(2ⁿ + 1) = 0 => 2ⁿ = 0 ( impossível) ou 2ⁿ = -1

(impossível) Logo, n = 1 e o número primo é 8¹ - 1 = 7