Question

Determinar o valor de $\alpha$
para que os pontos A($\alpha$, -1, 5), B(7, 2, 1), C(-1, -3, -1) e D(1, 0, 3) sejam coplanares.

Answer 1

para serem coplanares tem que pertencer o mesmo plano
faremos os vetores AB, AC, AD

$AB=([7- \alpha] ;3;-4)\\\\AC=([-1- \alpha] ;-2;-6)\\\\AD=([1- \alpha] ;1;-2)$

para esses 3 vetores pertencerem ao mesmo plano o produto misto entre eles tem que ser 0...então é só montar um matriz com os 3 ..e fazer o resultado dar 0 

$\left[\begin{array}{ccc}(7- \alpha )&3&-4\\(-1- \alpha )&-2&-6\\(1- \alpha )&1&-2\end{array}\right] =0$

da esquerda pra direita
$(28-4 \alpha )+(-18+18 \alpha )+(4+4 \alpha )\\\\(28-18+4)+ \alpha (-4+18+4)\\\\\ \boxed{14+18 \alpha }$

da direita pra esquerda
$(-6-6 \alpha )+(42-6 \alpha )+(-8+8 \alpha )\\\\(-6+42-8)+ \alpha *(-6-6+8)\\\\28+a*(-4)\\\\\boxed{28-4 \alpha }$

agora temos
$14+18 \alpha +28-4 \alpha =0\\\\42+14 \alpha =0\\\\ \alpha = \frac{-42}{14} \\\\ \alpha =-3$