Question

$10^{x} + 5^{x} / 20^{x} =6$

Answer 1

$\frac{10^x+5^x}{20^x}=6\\\\\frac{(2*5)^x+5^x}{(5*4)^x}=6\\\\\frac{2^x*5^x+5^x}{5^x*4^x}=6\\\\\frac{5^x(2^x+1)}{5^x*4^x}=6\\\\\frac{2^x+1}{4^x}=6\\\\\frac{2^x+1}{(2^2)^x}=6\\\\\frac{2^x+1}{(2^x)^2}=6\\\\2^x+1=6*(2^x)^2\\\\6*(2^x)^2-2^x-1=0$

vamos trocar a variável x por u conforme abaixo

$u=2^x$

então

$6*(2^x)^2-2^x-1=0\\\\6u^2-u-1=0$

Resolvendo por Bhaskara, teremos

u' = 1/2 e u'' = -1/3

Agora igualamos novamente 2 elevado a x por u' e u''

$2^x = u'\\2^x=\frac{1}{2}\\2^x=2^{-1}\\x=-1$

ou

$2^x=u''\\2^x=-\frac{1}{3}$

Como a potência de 2 nunca será negativa a segunda solução não é válida. Portanto a solução única será x = -1