Question

Me ajudem a determinar o conjunto solução da equação log 12(x2-x)=1

Answer 1

Olá Ana, boa tarde!

Considere o seguinte logaritmo abaixo:

$\mathbf{\log_a b}$

 Sabemos da definição que:

$\begin{cases} \mathbf{b > 0} \\ \mathbf{1 \neq a > 0}\end{cases}$

 Isto é, "a" e "b" devem ser maiores que ZERO e "a" deve ser diferente de UM. Com isso, devemos resolver a inequação abaixo (para que exista valores para "x"):

$\mathbf{x^2 - x > 0}$

 Bom! para resolver a inequação acima procedemos do seguinte modo:

(i) troque o sinal da desigualdade pelo sinal da igualdade;
(ii) resolva a equação obtida;
(iii) estude o sinal tendo como referência o sinal da desigualdade (se "<", então considere o "-". Se ">", então considere o "+"). Segue,

(i) x² - x = 0;
(ii) S = {0, 1}

(iii)

__+___(0)___-___(1)___+____


 Daí, $\mathbf{S_1 = \left \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x < 0 \ \vee \ x > 1 \right \}}$.


 Por fim, resolvemos a equação logarítmica e consideramos as raízes que pertencem à $\mathbf{S_1}$. Veja:

$\\ \mathsf{\log_{12} (x^2 - x) = 1} \\\\ \mathsf{12^1 = x^2 - x} \\\\ \mathsf{x^2 - x = 12} \\\\ \mathsf{x^2 - x - 12 = 0} \\\\ \mathsf{(x - 4)(x + 3) = 0} \\\\ \mathsf{S_2 = \left \{ - 3, 4 \right \}}$

 Como podes notar, as duas raízes {- 3, 4} satisfazem a condição de existência. Logo, concluímos que $\boxed{\boxed{\mathbf{x = - 3}}} \ \text{e} \ \boxed{\boxed{\mathbf{x = 4}}}$.

 Espero ter ajudado!

Bons estudos!!