Question

Calculo Numérico.

Tendo um conjunto de pares ordenados cuja função é desconhecida, ou muito complexa, você determina uma função mais simples, que se aproxima da função original, e também determina pares ordenados não existentes nesse conjunto; usamos os métodos de interpolação para que isso aconteça. A interpolação polinomial é uma forma de se obter uma aproximação para uma função f(x) que descreve um conjunto de dados. Suponha que você deseje fabricar por conta própria um Papai Noel feito de um chocolate especial para presentear uma criança carente que sofre de problemas alimentares no natal. No entanto, existem apenas dois pacotes desse chocolate especial à venda no mercado, a saber: o pacote de 700 gramas custa R$ 48,00 reais e o pacote de 1300 gramas custa R$ 75,00 reais. Sabendo que a forma que possui utilizaria exatamente 780 gramas de chocolate, você gasta R$ 75,00 reais no pacote de 1300 gramas, mas fica inconformado por saber que poderia gastar bem menos se comprasse exatamente 780 gramas.

Utilizando e aplicando seus conhecimentos sobre interpolação polinomial, bem como o exemplo abaixo de polinômios com utilização de pares ordenados, que valor em reais acrescido de centavos seria gasto se pudesse comprar exatamente os 780 gramas?


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Answer 1

Isso é uma interpolação linear simples. Dados dois pontos distintos $(x_0,y_0)$ e $(x_1,y_1)$ você faz uma aproximação supondo que a função que liga esses pontos é uma reta. É basicamente o que a imagem está dizendo, já que ele aproximou P(x) como sendo = a + bx. 

Nossos dois pontos são (700,48) e (1300,75). Aplicando na equação fica:
$P_1(x) = 48 + \frac{(75-48)}{1300-700}(x-700) \\ P_1(x) = 48 + \frac{27}{600}(x-700) \\ P_1(x) = 48 + 0,045x-31,5 \\ P_1(x) = 16,5 + 0,045x$

Com essa equação você é capaz de encontrar o valor para qualquer pacote cujo peso esteja dentro do intervalo de 700 a 1300 g. Valores fora desse intervalo fogem da capacidade do polinômio interpolador e seria necessário uma outra abordagem, pois estaríamos tratando da extrapolação.

Usando a fórmula encontramos que para 780 g de chocolate o preço seria de R$ 51,60.