Question

O cálculo da integral tripla pode ser aplicado a diversos casos, dentre os quais pode-se destacar cálculo de volume, de massa, de centro de gravidade. Para casos em que uma determinada região é delimitada por equação e possível calcular o volume dessa região por meio da integral tripla.Considere uma região R = [0,4] x [2,4] x [1,5], com base nessa região é correto afirma que:

Answer 1

Podemos calcular o volume da região R por integral tripla, desde que uma função de três variáveis nessa região seja constante e igual a 1

f(x, y, z) = 1

$V_R = \int\limits { \int\limits { \int\limits^{}_R {f(x,y,z)} \, dV}= \int\limits { \int\limits { \int\limits^{}_R {} \, dV}$

Vemos que x varia de 0 a 4, y varia de 2 a 4 e z varia de 1 a 5. Assim a integral tripla será.

$\int\limits^5_1 {\int\limits^4_2 {\int\limits^4_0 {} \, dx } \, dy } \, dz= \\\\ \int\limits^5_1 {\int\limits^4_2 {x|^4_0 } \, dy } \, dz=\\\\\int\limits^5_1 {\int\limits^4_2 {(4-0) } \, dy } \, dz=\\\\4\int\limits^5_1 {\int\limits^4_2 { } \, dy } \, dz=\\\\4\int\limits^5_1 {y|^4_2 } \, dz=\\\\4\int\limits^5_1 {(4-2)} \, dz=\\\\4\int\limits^5_1 {2} \, dz=\\\\4*2\int\limits^5_1 {}\, dz=\\\\8*z|^5_1=\\\\8*(5-1)=\\\\8*4=\\\\32$

De fato, podemos perceber qua a região R é um paralelograma que tem variação 4 em x, 2 em y e 4 em z, seu volume é 4*2*4 = 32