Question

Cálculo

$\int\limits {x sen \frac{x}{2} } \, dx$

Answer 1

Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/9203443

——————————

Calcular a integral indefinida:

     $\mathsf{\displaystyle\int\!x\,sen\,\frac{x}{2}\,dx}$


Método de integração por partes:

     $\begin{array}{lcl} \mathsf{u=x}&\quad\Rightarrow\quad&\mathsf{du=dx}\\\\ \mathsf{dv=sen\,\dfrac{x}{2}\,dx}&\quad\Leftarrow\quad&\mathsf{v=-2\,cos\,\dfrac{x}{2}} \end{array}$

—————

Obs.:  Para encontrar o  v,  teríamos que integrar  $\mathsf{dv=sen\,\dfrac{x}{2}\,dx:}$

     $\mathsf{v=\displaystyle\int\!sen\,\frac{x}{2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{v=\displaystyle\int\!2\cdot \frac{1}{2}\,sen\,\frac{x}{2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{v=\displaystyle 2\int\!sen\,\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}\,dx}$


Faça uma substituição simples:

     $\mathsf{w=\dfrac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad dw=\dfrac{1}{2}\,dx}$


e ficamos com

     $\mathsf{v=\displaystyle 2\int\!sen\,w\,dw}\\\\\\ \mathsf{v=2\cdot (-cos\,w)}$

     $\mathsf{v=-2\,cos\,\dfrac{x}{2}}$          ✔

—————

     $\mathsf{\displaystyle\int\!u\,dv=uv-\int\!v\,du}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!x\,sen\,\frac{x}{2}\,dx=x\cdot \left(-2\,cos\,\frac{x}{2}\right)-\int\!\left(-2\,cos\,\frac{x}{2}\right)dx}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!x\,sen\,\frac{x}{2}\,dx=-2x\,cos\,\frac{x}{2}+2\int\!cos\,\frac{x}{2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!x\,sen\,\frac{x}{2}\,dx=-2x\,cos\,\frac{x}{2}+2\int\!2\cdot \frac{1}{2}\,cos\,\frac{x}{2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!x\,sen\,\frac{x}{2}\,dx=-2x\,cos\,\frac{x}{2}+4\int\!cos\,\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}\,dx}$

     $\mathsf{\displaystyle\int\!x\,sen\,\frac{x}{2}\,dx=-2x\,cos\,\frac{x}{2}+4\int\!cos\,w\,dw\qquad\quad\left(w=\frac{x}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!x\,sen\,\frac{x}{2}\,dx=-2x\,cos\,\frac{x}{2}+4\,sen\,w+C}$

     $\mathsf{\displaystyle\int\!x\,sen\,\frac{x}{2}\,dx=-2x\,cos\,\frac{x}{2}+4\,sen\,\frac{x}{2}+C}$    <———    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)