Question

Determinar o vetor u tal que:
A) o módulo de u é 2;
B) o ângulo entre u e v = ( 1; -1; 0) é 45 graus;
C) u é ortogonal a w = ( 1; 1; 0)

Answer 1

Dados
seja u = (x,y,z) 
v = ( 1; -1; 0)
w = ( 1; 1; 0)
i) |u|=2
ii) ∡(u, v) = 45°
iii) u⊥w
Primeiro:
se u⊥w ⇒ u.v(Produto interno dee u e w) = 0 ou seja:


u . w = (x,y,z) . (1,1,0) 
 x . 1 +y .1+ 0.1 = 0
x+y= 0  (I)

Segundo:
sabe-se que ∡(u, v) = 45° e |u|=2, sendo assim, teremos:

u . v = |u| . |v| .cos45º  , como v = ( 1; -1; 0) entao |v| =√2 e regressando a expressao anterior vem:

u . v = |u| . |v| .cos45º 
(x,y,z) . (1,-1,0) = 2 . √2.√2/2 
x-y = 2 (II)

Levando (I) e (II) obtemos um sistema de duas equacoes e duas incognitas


x+y = 0 
x-y = 2   E resolvendo pelo metodo misto( pode recorrer a um outro metodo) obtem-se 

2x=2 
x= 2/2 
x= 1  

x+y = 0 
1+y = 0 
y = -1 
Como u = (x, y, z) ainda falta o valor de Z mas para tal recorremos a condicao i (|u| = 2)
|u| = √(x² + y² + Z² ) = 1² + (-1²) + Z² ⇔
√1 + 1 + Z² = 2
√2+Z² = 2  Elevaremos a 2 ambos os membros de modo a eliminar a raiz.

(2)² = (√(2 + Z² )² 

Z² = 4 - 2 
Z² = 2 
Z = +-√2

Finalmente u = (1,-1, √2)  V  u = (1,-1, -√2)

Espero que tenha ajudado