Question

Não consigo responder essa questão.
Quantos termos da P.A (3,19,35,...) devem ser somados para que Sn=472?

Answer 1

Precisaram ser somados 29 termos para chegar no resultado de 464 pois se somados 30 termos o resultado é 480 e ultrapassa o valor pedido.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Fran, que a resolução é simples. Pede-se para determinar a quantidade de termos da PA (3; 19; 35; ....) sabendo-se que a soma desses termos é igual a 472 (Sn = 472).

Veja que a fórmula da soma é dada por:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Na fórmula acima "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos.Como queremos que essa soma seja igual a "472", então substituiremos "Sn" por "472". Por seu turno substituiremos "a₁" por "3" , que é o valor do 1º termo. Assim, teremos:

472 = (3 + an)*n/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*472 = (3 + an)*n
944 = (3 + an)*n.

Mas veja que "an" poderá ser expresso em função do 1º termo. Note que o termo geral de uma PA é dada por:

an = a₁ + (n-1)*r --- note que o primeiro termo "a₁" é igual a "3". Por sua vez, a razão da PA é igual a "16" , pois: 35-19 = 19-3 = 16. Então substituiremos "r' por "16", com o que ficaremos:

an = 3 + (n-1)*16 ---- efetuando este produto, teremos:
an = 3 + 16n - 16 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
an = 16n - 13  <--- Este é o valor do "an" em função do 1º termo.
Assim, iremos na fórmula da soma e substituiremos "an" por "16n - 13". Assim, como a fórmula da soma já vista acima é esta:

944 = (3 + an)*n , então substituiremos "an" por "16n-13". Logo:
944 = (3 + 16n-13)*n ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
944 = (16n - 10)*n ---- efetuando o produto indicado, teremos:
944 = 16n² - 10n ---- passando "944" para o 2º membro, temos:
0 = 16n² - 10n - 944 --- ou, invertendo, teremos:
16n² - 10n - 944 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes;

n' = - 7,375 ---- raiz inválida, pois não há número negativo de termos.
n'' = 8 <--- raiz válida.

Assim, teremos que a PA da sua questão deverá ter:

8 termos <--- Esta é a resposta. Ou seja, a PA da sua questão deverá ter 8 termos para que a soma dos seus primeiros8 termos dê igual a 472.

Bem, a resposta já está dada. Agora, por mera curiosidade, vamos ver como isso é verdade. Se a PA tiver 8 termos, então vamos encontrar qual é o valor do 8º termo pela fórmula do termo geral, que já vimos antes e que é esta:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima substituiremos "an" por "a₈", que o valor do último termo. Por seu turno, substituiremos "a₁" por "3", que é o valor do 3º termo. Por sua vez, substituiremos "n" por "8", pois a PA deverá ter 8 termos. E, finalmente, substituiremos "r" por "16", que é o valor da razão da PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos;

a₈ = 3 + (8-1)*16
a₈ = 3 + (7)*16 --- ou apenas:
a₈ = 3 + 7*16 ----- note que 7*16 = 112. Logo:
a₈ = 3 + 112
a₈ = 115 <--- Este será o valor do 8º termo.

Agora veja que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA, como também já vimos antes, é dada por:

Sn = (a₁ + an)*n/2 ------ substituindo-se "Sn" por "S₈" (pois queremos a soma dos 8 primeiros termos). Substituindo-se "a₁" por "3" (que é o valor do 1º termo). Substituindo-se "an" por "a₈", que por sua vez já vimos que é igual a "115" . E, finalmente, substituindo-se "n" por "8" (que é o número de termos da PA), teremos:

S₈ = (3+115)*8/2
S₈ = (118)*4 --- ou apenas:
S₈ = 118*4 ---- veja que este produto dá exatamente 472. Logo:
S₈ = 472 <--- Olha aí como é verdade. Ou seja, olha aí como sendo 8 termos a soma dos primeiros 8 termos da PA será, realmente, igual a 472.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.