Question

considere os vetores u=2i-3j-6k e v=3i-4j-4k. determine a norma da projecao de u sovre v e marque a alternativa que mais se aproxima:

Answer 1

Olá


Resposta correta, letra c) 6,56.


$\displaystyle \vec{u}=(2,-3,-6)\\\vec{v}=(3,-4,-4)$

Podemos calcular a projeção de 'u' em 'v', a partir da seguinte fórmula

$\displaystyle Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}~=~ \frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} ~\cdot~\vec{v}$


Substituindo os vetores

$\displaystyle Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}~=~ \mathsf{\frac{(3,-4,-4)\cdot (2,-3,-6)}{(3,-4,-4)\cdot (3,-4,-4)} ~\cdot~(3,-4,-4)}\\\\\\\text{Faz o produto escalar no numerador e no denominador.}\\\\\\Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}~=~ \mathsf{\frac{(3\cdot 2 ~+~ (-4\cdot (-3))~+~(-4\cdot (-6)))}{(3\cdot 3~+~(-4\cdot (-4))~+(-4\cdot (-4)))} ~\cdot~(3,-4,-4)}\\\\\\Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}~=~ \mathsf{\frac{6+12+24}{9+16+16} ~\cdot~(3,-4,-4)}$

$\displaystyle Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}~=~ \mathsf{\frac{42}{41} ~\cdot~(3,-4,-4)}\\\\\\\text{Agora, multiplica o escalar que encontramos } \frac{42}{41}\text{ pelo vetor }\vec{v} \\\\\\Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}~=~ \mathsf{\left(3\cdot \frac{42}{41} ,~-4\cdot \frac{42}{41} ,~-4\cdot \frac{42}{41} \right)}\\\\\\Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}~=~ \mathsf{\left(\frac{126}{41} ,~- \frac{168}{41} ,~- \frac{168}{41} \right)}~~~~ ~~\Longleftarrow \text{Esse e o vetor projecao}$

Mas, o enunciado não pede o vetor projeção, e sim a norma dele... A norma é a mesma coisa que o módulo... Então, vamos então calcular o módulo do vetor projeção que encontramos

$\displaystyle \left|Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}\right|~=~ \mathsf{ \sqrt{\left(\frac{126}{41}\right)^2 ~+~\left(- \frac{168}{41}\right)^2~+ ~\left(- \frac{168}{41}}\right )^2 }$

$\displaystyle \left|Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}\right|~=~ \mathsf{ \sqrt{\left(\frac{15876}{1681}\right) ~+~\left( \frac{28224}{1681}\right)~+ ~\left( \frac{28224}{1681}}\right ) }$

$\displaystyle \left|Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}\right|~=~ \mathsf{ \sqrt{\left(\frac{72364}{1681}\right) } }\\\\\\ \boxed{\left|Proj^{\vec{u}}_{\vec{v}}\right|~\approx~ \mathsf{6,55930}}~~~ ~~\Longrightarrow ~~~\text{Letra C)}$