Question

(UFES) A expressão [sen (3a) / sen a] - [cos (3a) / cos a] é igual à constante k. Determine k.

Answer 1

Usaremos a fórmula de arco duplo para deduzir a fórmula de arco triplo e - em seguida, descobrir o valor de k.

$k= \frac{sin\ (3a)}{sin\ a} - \frac{cos\ (3a)}{cos\ a} \\\\ k= \frac{sin\ (a+2a)}{sin\ a}- \frac{cos\ (a+2a)}{cos\ a} \\\\ k= \frac{sin\ a.cos\ 2a+cos\ a.sin\ 2a}{sin\ a}-\frac{cos\ a.cos\ 2a-sin\ a.sin\ 2a}{cos\ a}$

$k= \frac{sin\ a.(1-2sin^2a)+cos\ a.(2.sin\ a.cos\ a)}{sin\ a}- \\ -\frac{cos\ a.(2cos^2a-1)-sin\ a.(2.sin\ a.cos\ a)}{cos\ a} \\\\ k= \frac{sin\ a-2sin^3a+2sin\ a.cos^2a}{sin\ a}- \frac{2cos^3a-cos\ a-2sin^2a.cos\ a}{cos\ a} \\\\ k=\frac{sin\ a-2sin^3a+2sin\ a.(1-sin^2a)}{sin\ a}- \frac{2cos^3a-cos\ a-2cos\ a.(1-cos^2a)}{cos\ a} \\\\ k= \frac{sin\ a-2sin^3a+2sin\ a-2sin^3a}{sin\ a}- \frac{2cos^3a-cos\ a-2cos\ a+2cos^3a}{cos\ a} \\\\ k= \frac{3sin\ a-4sin^3a}{sin\ a}- \frac{4cos^3a-3cos\ a}{cos\ a}$

$k= \frac{sin\ a.(3-4sin^2a)}{sin\ a}-\frac{cos\ a.(4cos^2a-3)}{cos\ a} \\\\ k=(3-4sin^2a)-(4cos^2a-3) \\\\ k=3-4sin^2a-4cos^2a+3 \\\\ k=6-4sin^2a-4cos^2a \\\\ k=6-4.(sin^2a+cos^2a) \\\\ k=6-4.(1) \\\\ \| \ k=2 \ \|$