Question

[LIMITE, INFINITO, TENDO A INFINITO]

Calculando  $\lim_{x \to \infty} x ^{ \frac{1}{{X} }$  obtemos:

a. ∞
b. 1
c. e
d. 0
e. π

Answer 1

Resolução, veja:

 $\lim_{x \to \infty}} x ^{\dfrac{1}{x}}}$

Vamos utilizar à propriedade do limite para exponencial, que enuncia que: lim (x -> a, B^x) = e^(lim(x->a(ln(H^x)))), veja:

e^ lim x -> ∞ ln x ^ 1/x

Como tem uma potência de logaritmos podemos aplicar a propriedade do logaritmo da potência, que diz que: O logaritimo da potencia é o expoente • o logaritimo da base (log(b,z^a)) = alog(b,z))), deste modo temos:

1 ln x/x

ln x/x

Agora que simplificamos a função, podemos retornar ao limite original, veja como fica:

lim ln x/x
x => ∞

Neste caso temos uma indeterminação do tipo ∞/∞, podemos então aplicar as regra de L'Hôspital, que diz que: se lim(x-> c, f(x)) = lim(x->c,g(x)) = ∞, temos que (lim(x->c,f(x)))/(lim(x->c,g(x))) = (lim(x->c,f(x)))'/(lim(x->c,g(x))))'.

Resumindo, aplicase a derivada de 1ª ordem no numerador e denominador da função, a fim de tirar a indeterminação, veja como fica:

lim d/dx (ln x)/ d/dx (x)
x-> ∞

Simplificando essa expressão teremos que :

A derivada de uma constante é igual a própria constante, logo teremos:

lim 1/x/1
x->∞

Levando as constantes para fora do limite teremos:

1/1 lim 1/x
x->∞

Juntando os limites temos:

lim 1/x
x->∞

Agora, pela substituição direta temos:

lim 1/∞
x->∞

1/∞ = 1.

Ou seja, o resultado deste limite é 1.

Alternativa “B” é a correta.

Espero que te te ajude '-'

Se tiver alguma dúvida quanto a resolução só falar.