Question

1- Qual é o polígono regular cujo ângulo central mede 20°?
2- Um quadrado tem lado medindo 4 cm. Calcule a medida:
a- do raio da circunferência inscrita (apótema);
b- do raio da circunferência circunscrita.
3- Um triângulo equilátero tem lado 9 cm. Calcule a medida:
a- do raio da circunferência circunscrita (apótema);
b- do raio da circunferência circunscrita.

Answer 1

1) O ângulo central de um polígono regular de $n$ lados mede $\dfrac{360}{n}$.

Assim, se $n$ é o número de lados desse polígono regular, devemos ter, \dfrac{360}{n}=20[/tex].

Deste modo, $20n=360~\Rightarrow~n=\dfrac{360}{20}~\Rightarrow~\boxed{n=18}$.

O polígono regular em questão tem $18$ lados, chama-se octodecágono.

2) 

a) Quando uma circunferência está inscrita num quadrado, o lado do quadrado coincide com o diâmetro da circunferência.

Como o lado desse quadrado mede $4~\text{cm}$, o diâmetro da circunferência inscrita também mede $4~\text{cm}$.

Logo, o raio da circunferência, que mede metade do diâmetro, mede $2~\text{cm}$.


b) Quando uma circunferência está circunscrita num quadrado, a diagonal do quadrado coincide com o diâmetro da  circunferência.

A diagonal de um quadrado de lado $l$ mede $l\sqrt{2}$.

Como esse quadrado tem lado igual a $4~\text{cm}$, sua diagonal mede $4\sqrt{2}~\text{cm}$.

Assim, o diâmetro da circunferência circunscrita nesse quadrado também mede $4\sqrt{2}~\text{cm}$ e o raio procurado é igual a $2\sqrt{2}~\text{cm}$.


3)

a) O raio de uma circunferência inscrita num triângulo equilátero de lado $l$ mede $\dfrac{l\sqrt{3}}{6}$.

Como o lado desse triângulo equilátero mede $9~\text{cm}$, o raio da circunferência inscrita é igual a $\dfrac{9\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}~\text{cm}$.


b) O raio de uma circunferência circunscrita num triângulo equilátero de lado $l$ mede $\dfrac{l\sqrt{3}}{3}$.

Como o lado desse triângulo equilátero mede $9~\text{cm}$, o raio da circunferência circunscrita mede $\dfrac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}~\text{cm}$.

Espero ter ajudado ^^