Question

O número de partículas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuição de Poisson com taxa média (λ) igual a 0,5 partículas por segundo. Uma chapa fotográfica é sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partículas.


1. Quantas partículas a fonte emite em média a cada 2 segundos?

1. Calcule a probabilidade da fonte emitir menos de 3 partículas em 2 segundos.

2. Calcule a probabilidade de uma chapa, exposta por 2 segundos à frente da fonte das partículas radioativas, ficar sensibilizada.

3. Se 5 chapas são colocadas, uma após outra, durante 2 segundos cada uma em frente à fonte, qual a probabilidade de exatamente somente uma delas ser sensibilizada?

Answer 1

distribuição de poisson
$\boxed{\boxed{P(x)= \frac{e^{-\lambda}*\lambda^{x}}{x!} }}$

dados:
λ = 0,5 p/s

- Quantas partículas a fonte emite em média a cada 2 segundos?
λ = 0,5 p/s *2s= 1p


- Calcule a probabilidade da fonte emitir menos de 3 partículas em 2 segundos
em 2s  , λ = 1

probabilidade de emitir menos de 3 particulas

$P(\ \textless \ 3)= P(0)+P(1)+P(2)\\\\ P(\ \textless \ 3) = \frac{e^{-1}*1^{0}}{0!}+ \frac{e^{-1}*1^{1}}{1!}+ \frac{e^{-1}*1^{2}}{2!}\approx 0,9196 = 91,96\%$

- Calcule a probabilidade de uma chapa, exposta por 2 segundos à frente da fonte das partículas radioativas, ficar sensibilizada

pra ficar sensibilizada precisa ser atingida por 3 particulas ou mais
probabilidade de ser atingida por 3 ou mais é:
P= 100% - (probabilidade de ser atingida por até duas particulas)

aplicando isso:
$P( \geq 3)= 1-P( \leq 2)\\\\P( \geq 3)= 1- (P(0)+P(1)+P(2))\\\\ P( \geq 3) = 1-0,9196\approx 0,0804 \\\\ P( \geq 3) \approx 8,04\%$


- Se 5 chapas são colocadas, uma após outra, durante 2 segundos cada uma em frente à fonte, qual a probabilidade de exatamente somente uma delas ser sensibilizada?

a probabilidade de uma chapa ser sensibilizada após 2 segundos é 8,04%
a probabilidade de não ser sensibilizada após 2 segundos é 91,96%

temos cinco chapas  em ordem A,B,C,D,E
probabilidade de apenas uma de 5 ser sensibilizada:
pode ser a placa A,B,C,D ou E


$\text{probabilidade de ser a placa A} \\PA=0,0804*0,9196 *0,9196 *0,9196 *0,9196 \\PA= 0,0804*0,9196^4\\\\ \text{probabilidade de ser a placa B} \\PB=0,9196 *0,0804*0,9196 *0,9196 *0,9196 \\PB= 0,0804*0,9196^4\\\\ \text{probabilidade de ser a placa C} \\PC=0,9196 *0,9196 **0,0804*0,9196 *0,9196 \\PC= 0,0804*0,9196^4 \\\\ ... \\\\ \text{probabilidade de ser ou A ou B ou C ou de ou E}\\\\P= PA+PB+PC+PD+PE\\\\P= 0,0804*0,9196^4*5\\\\P\approx 0,2874 \approx 28,74\%$