Question

Binômio de Newton (UFBA) No desenvolvimento de (2x²+y)^9, c é o coeficiente do termo no qual os expoentes de x e y são iguais. Calcule c/8

Answer 1

Pelo Binômio de Newton:

$(2x^2+y)^9=\dbinom{9}{0}(2x^2)^9y^0+\dbinom{9}{1}(2x^2)^8y^1+\dots+\dbinom{9}{8}(2x^2)^1y^8+\dbinom{9}{9}(2x^2)^0y^9$

Deste modo, no termo $\dbinom{9}{k}(2x^2)^{9-k}y^{k}$, o expoente de $x$ é $2(9-k)=18-2k$ e o de $y$ é $k$.

Assim, devemos ter, $18-2k=k$, isto é, $3k=18$, donde, $k=6$.

O termo procurado é $\dbinom{9}{6}(2x^2)^3y^6$, logo, $c=2^3\dbinom{9}{6}$.

$c=2^3\cdot\dbinom{9}{6}=2^3\cdot\dfrac{9!}{6!\cdot3!}=2^3\cdot84$ e obtemos $\dfrac{c}{8}=\dfrac{2^3\cdot84}{8}=84$.