Question

Um fazendeiro, no primeiro dia da colheita de sua safra anual de jacas, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir do segundo dia, o preço da jaca diminui em R$ 0,02, e assim sucessivamente, a cada dia. Sabendo-se que no primeiro dia foram colhidas e vendidas 80 jacas, e que a cada dia o número de jacas aumenta em uma unidade até o fim da safra que se encerrou com 160 jacas.Com base nessas informações, determine:a. A expressão que representa essa função quadrática f , ou seja, a receita (o ganho) do fazendeiro com a venda das jacas como função do dia da colheita.b. O dia da colheita em que aconteceu o maior ganho financeiro para o fazendeiro.c. A receita pela venda das jacas colhidas no 35º dia de colheita.

Answer 1

a)
Vamos considerar um tempo "t" dados em dias. Podemos definir a equação do custo da jaca "C(t)" em função de "t", conforme abaixo.

C(t) = 2 - 0,02(t - 1)
C(t) = 2 - 0,02t + 0,02
C(t) = 2,02 - 0,02t

Note que para t=1, temos C(t) = 2

Também podemo, determinar a quantidade de jacas "Q(t)" em cada dia, em função do tempo "t".

Q(t) = 80 + (t - 1)
Q(t) = 80 + t - 1
Q(t) = 79 + t

Note que para t = 1, temo Q(t) = 80

A função da receita "f(x)" será a multiplicação do custo da jaca "C(t)" pela quantidade de jaca "Q(t)". Assim, temos:

f(x) = C(t) * R(t)
f(x) = (2,02 - 0,02t) * (79 + t)
f(x) = 159,58 +2,02t - 1,58t - 0,02t²
f(x) = 159,58 + 0,44t - 0,02t²

Portanto, a função quadrática acima representa a receita do fazendeiro no dia "t".

b)
Note que temos uma função quadrática com coeficiente "a" negativo, portanto temos uma parábola para baixo, assim temos um ponto de máximo. Portanto precisamos determinar o dia em que a parábola atinge seu máximo. Para isso vamos calcular a abscissa "tv" do vértice

tv = -b / 2a = (-0,44) / (2 * (-0,02)) = (-0,44) / (-0,04) = 11

Portanto a receita máxima acontece no dia 11.

c)
Para determinar a receita no 35° dia basta substituir t por 35 na função quadrática.

f(x) = 159,58 + 0,44t - 0,02t²
f(35) = 159,58 + 0,44 * 35 - 0,02 * 35²
f(35) = 159,58 + 15,4 - 24,5
f(35) = 150,48

Portanto a receita no dia 35 foi de R$150,48.