Question

Determine a equação de uma circunferência de raio 2 que seja concêntrica à circunferência x² + y² - 4x + 2y + 4 = 0, e a seguir calcule a diferença entre as áreas dos círculos determinados por essas circunferências.

A) ( ) (x - 4)²+ (y - 3)² = 6; 5π B) ( ) (x - 2)²+ (y - 1)² = 16; 3π C) ( ) (x - 1)² + (x - 1)²= 5; 9π D) ( ) (x + 2)² + (y + 1)² = 4; 6π E) ( ) (x - 2)² + (y + 1)² = 4; 3π

Answer 1

Boa noite.

Como as circunferências são concêntricas, elas têm o mesmo centro. Por isso, se encontrarmos o centro da segunda, teremos o centro da primeira. Podemos fazer isso completando quadrados:

$x^2+y^2-4x+2y+4=0\\ \\ (x^2-4x) + (y^2+2y)+4=0$

Note que:

$x^2-4x=(x-2)^2-4\\ y^2+2y=(y+1)^2-1$

Substituindo, temos:
$(x-2)^2-4+(y+1)^2-1+4=0\\ \\ (x-2)^2+(y+1)^2=1=1^2$

A segunda circunferência tem centro $C_2(2,-1)$ e raio $r_2=1$

A sua área vale:

 $A_2=\pi\cdot r_2^2 = \pi\cdot1^2 = \pi\\ \\ \boxed{A_2=\pi}$

Como a primeira tem o mesmo centro $C_1=C_2$ e raio 2, sua equação pode ser escrita por:

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\\ \\ (x-2)^2+(y+1)^2=2^2=4\\ \\ \boxed{ (x-2)^2+(y+1)^2=4}$

A área do círculo determinado pela primeira circunferência vale:

$A=\pi\cdot2^2\\ \\ \boxed{A_1=4\pi}$

A diferença é dada por:

$d=A_1-A_2\\ d=4\pi-\pi\\ \\ \boxed{d=3\pi}$

Donde concluímos que a alternativa C é a correta.