Question

A soma dos 10 primeiro termos de uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é 258, então, o 1º termo e a razão são respectivamente:

Answer 1

$S_{n}=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$

$S_{10}=\dfrac{(a_1+a_{10})10}{2}=185$.

Veja que, $a_{10}=a_1+9r$, então:

$\dfrac{(a_1+a_1+9r)10}{2}=185$

$20a_1+90r=370$, isto é, $2a_1+9r=37$.

$S_{12}=\dfrac{(a_1+a_{12})12}{2}=258$

$\dfrac{(a_1+a_1+11r)12}{2}=258$

$24a_1+132r=516$, ou seja, $2a_1+11r=43$.

Com isso, $\begin{cases} 2a_1+9r=37 \\ 2a_1+11r=43 \end{cases}$.

Multiplicando a primeira equação por $-1$ e somando com a segunda,

$(-2a_1-9r)+(2a_1+11r)=-37+43$

$2r=6$, logo, $r=3$.

Assim, $2a_1+9\cdot3=37$, isto é, $2a_1=10$ e $a_1=5$.