Question

Uma partícula partindo do repouso do ponto A, percorre a guia representada no esquema, disposta num plano vertical:

[...]

Sendo H a altura do ponto A e d o diâmetro do arco da circunferência indicada, calcule o máximo valor admissível do quociente d/H para que a partícula consiga chegar ao ponto B sem perder o contato com a guia. Despreze os atritos e a resistência do ar.

cálculos bem explicativos por favor!!

Answer 1

Vamos lá...

Nomenclaturas:
m = massa.
v^2 = velocidade elevada ao quadrado.
d = diâmetro.
g = gravidade.
(N) = análise do ponto N.
(M)= análise do ponto M.

Aplicação:

Note que o nosso objetivo nada mais é, do que a particular atravessar toda a circunferência, para isso, devemos analisar a velocidade no ponto N, veja:

m × v^2 / 2 = m × v^2 / 2 + m × g × d

Observe, que não sabemos, ainda, a velocidade no ponto M, no entanto, na equação acima, considerei o primeiro membro a relação do ponto M.

m × v^2 / 2 = m × v^2 / 2 + m × g × d
v^2 / 2(pontoM) = v^2 / 2 + d × g (pontoN).

Perceba que a circunferencia só será completada se a velocidade no ponto N, não for mínima, assim, a trajetória descrita pela partícula nos remete a força centripeta, veja:

2 × m × V^2(n) / d = m × g + N(n).
2mv^2(N) / d = mg + N(n).
2mv^2(N) / d = mg + 0.
2mv^2(N) / d = mg.
v^2(N) = dg / 2.

A partir da imagem, podemos deduzir que a velocidade no ponto "N" será nula, com isso, vamos substituir a última parte de nossa conta acima, pela nossa primeira equação de origem, veja:

N(n) = 0

v^2(M) / 2 = v^2(N)/ 2 + d × g.
v^2(M) / 2 = v^2(N)/ 2 + dg.
v^2(M) / 2 = dg / 4 + dg
V^2 (M) / 2 = 5dg / 4.

Podemos agora encontrar a energia cinetica no ponto (M), vejamos:

V^2 (M) / 2 = mgh.
5dg / 4 = gh.
d = 4h/5.

Por fim, o máximo valor admissível do quociente d/H é equivalente a 4h/5.

Espero ter ajudado.