Question

Determine dois números naturais sabendo que sua soma é 589 e o quociente entre o mmc e o mdc é 84?

Answer 1

mmc(a,b) = 84.mdc(a, b)
= 2.2.3.7.mdc(a, b).

Como mdc(a, b) é o maior divisor comum, 
a = mdc(a,b). x   e
b = mdc(a, b).y
com x e y primos entre si.

ab = mdc(a, b).mmc(a, b)  =     mdc(a,b).mdc(a,b).84 ⇒ [a/mdc(a,b)] . [b/mdc(a,b)] = 84.

Façamos [a/mdc(a,b)] = x e [b/mdc(a,b)] = y.

Os números x e y são primos entre si e x.y = 84.
Então,  x.y = 2.2.3.7.
Assim, x = 2.2  e y = 3.7  ou x = 2.2.3 e y = 7 ou x = 2.2.7 e y = 3 ou x = 2.2.3.7 e y = 1.

Assim,

(1º) a = mdc(a,b). 2.2 e b = mdc(a, b).3.7⇒ a / b = 4/21.  Como a + b = 589, tiramos  b + (4/21)b = 589 ⇒ 21b + 4b = 589(21) ⇒ 25b = 589.21 ⇒ não existe o inteiro b pois 589.21 não é múltiplo de 25.

(2º) a = mdc(a, b).2.2.3  e b = mdc(a, b).7⇒ a/b = 12/7. Sendo a + b = 589, tem-se b + (12/7)b = 589 ⇒ 19b = 589.7 ⇒ b = 217  e a = 589 – 217 = 372.

(3º) a = mdc(a, b).2.2.7  e b = mdc(a, b).3⇒ a / b = 28/3.  Temos, b + (28/3)b = 589 è 31b = 589.3  ⇒ b = 57 e a = 589 – 57 = 532.

(4º)  a = mdc(a, b).2.2.3.7  e b = mdc(a, b).1 ⇒ a/b = 84 ⇒ b + 84b = 589 ⇒ 85b = 589 ⇒ não existe o inteiro b pois 589 não é divisível por 85.

Portanto, temos: 217 e 372 ou 57 e 532.