Question

A matriz inversa da matriz $\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ é a matriz $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\2c-3&-1\end{array}\right]$ .

 Qual é o valor de a+b+c+d?

Answer 1

Olá Mh59,

Vamos chamar a matriz inversa de A^-1 e a matriz de A. Então, sabemos que, pela definição de uma matriz inversa:
$A*A^{-1}=I_{n}$

Onde In é uma matriz identidade de ordem n.
Como A e A^-1 são matrizes quadradas de ordem n = 2.
Portanto, a multiplicação entre essas duas matrizes resulta em uma matriz identidade In de ordem 2, ou seja:
$\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}1&0\\2c-3&-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Efetuando a multiplicação termo a termo:
$1a+b(2c-3) = 1 \\ a+2bc-3b = 1 \\ \\ 0a+(-1b) = 0 \\ -b = 0 \\ b = 0 \\ \\ 1c+c(2c-3)=0 \\ c+2c^{2}-3c=0 \\2c^{2}-2c = 0 \\ \\ 0d+(-1d) = 1 \\ -d = 1 \\ d = -1$

Podemos descobrir a através da primeira equação:
$a+2bc-3b = 1 \\ a+2(0)(c)-3(0) = 1 \\ a = 1$

Também podemos encontrar c resolvendo sua equação quadrática:
$2c^{2}-2c=0 \\ c= \frac{2+-2}{4} \\ c=1 \\ou\\ c=0$

Veja que c = 0 não satisfazem a condição e portanto, c assume o valor de 1. Desse modo, temos:
a = 1
b = 0
c = 1
d = -1

A soma a+b+c+d é igual a:
1+0+1-1 = 1

Bons estudos!